2. Критерий Уилкоксона

Область применения. Критерий Уилкоксона применяется в той же ситуации, что и критерий Манна-Уитни. В отличие от этого критерия и критерия знаков, он имеет дело не со знаками некоторых случайных величин, а с их рангами. Исторически критерий Уилкоксона был одним из первых критериев, основанных на рангах (о рангах см. п. 3).

Пусть, например, первая выборка состоит из чисел 6, 17 и 14, вторая — из чисел 5 и 12. Тогда ранги величин первой группы есть 2, 5, 4, второй — 1, 3.

Нетрудно понять, что последовательность рангов совокупности oБъема Т+N является некоторой перестановкой чисел 1. , M+N. Верно и обратное: любая перестановка чисел 1. M + П может оказаться ранговой последовательностью. Так что множество возможных ранговых последовательностей — это совокупность перестановок чисел 1, 2. M+n. Их общее число равно (M+N)!.

Таким образом, ранги в какой-то мере способны характеризовать, например, положение одной выборки по отношению к другой и в то же время они не зависят от неизвестных нам распределений выборок Х и У. Это обстоятельство и легло в основу ранговых методов, широко применяемых в настоящее время в различных задачах. Вернемся к непосредственному обсуждению критерия Уилкоксона.

Назначение. Критерий Уилкоксона используется для проверки Гипотезы об однородности двух выборок. Нередко одна из выборок ПреДСтавляет характеристики объектов, подвергшихся перед тем какому-то воздействию (обработке). В этом случае гипотезу однородности можно назвать Гипотезой об Отсутствии эффекта обработки.

Данные. Рассматриваются две выборки и , объемов M и П. Обозначим закон распределения первой выборки через F, а второй — через G.

Допущения. 1. Выборки и независимы между собой.

2. Законы распределения выборок F и G непрерывны.

Гипотеза. В введенных выше обозначениях гипотезу об однородности выборок можно записать в виде Н : F = G.

Метод. 1. Рассмотрим ранги игреков в общей совокупности выборок Х и У. Обозначим их через .

3. Зададим уровень значимости A или выберем метод, связанный с определением наименьшего уровня значимости, приведенный ниже.

4. Для проверки Н на уровне значимости A против правосторонних альтернатив найдем по таблице верхнее критическое значение W(A, M, N), т. е. такое значение, для которого

Гипотезу следует отвергнуть против правосторонней альтернативы при уровне значимости A, если .

6. Гипотеза H отвергается на уровне 2A против двусторонней альтернативы , если

или .

Напомним, что альтернативы должны выбираться из содержательных соображений, связанных с условиями получения экспериментальных данных.

7. Более гибкое правило проверки Н связано с вычислением наименьшего уровня значимости, на котором гипотеза Н может быть отвергнута. Для разных альтернатив речь идет о вычислении вероятностей:

Гипотеза отвергается, если соответствующая вероятность оказывается малой.

Обозначим через ZA верхнее критическое значение стандартного нормального распределения. Его можно найти с помощью таблицы квантилей нормального распределения для любого 0 < A 0.5. Благодаря симметрии распределения нижнее критическое значение равно — ZA. Правило проверки H перефразируем так:

• отвергнуть H на уровне A против альтернативы , есЛИ ;

• отвергнуть H на уровне A против альтернативы , ЕСли ;

• отвергнуть H на уровне 2A против альтернативы , если .

Функция нормального распределения и ей обратная, которая Называется функцией квантилей стандартного нормального распределЕния, подробно табулированы. Упомянутое ранее верхнее критическое значение ZA С помощью функции Ф можно определить как решение уравнения

Замечание. Указанное выше нормальное приближение для вычисления критических значений статистики W хорошо действует даже для небольших значений M и П, если только A не слишком мало. (Так, для Т = П = 8 приближенные квантили практически не отличаются от точных.)

Обсуждение. Рассмотрим подробнее свойства статистики W и соображения положенные в основу критерия Уилкоксона.

Пусть M = 3 и N = 2. Вычислим число всех возможных пар рангов игреков. Оно равно Следовательно, вероятность каждого упорядоченного набора рангов равна 0.1. Выпишем всевозможные наборы рангов S1, S2 и соответствующую им сумму:

Мнение эксперта

Витальева Анжела, консультант по работе с офисными программами

Со всеми вопросами обращайтесь ко мне!

Задать вопрос эксперту

Гипотеза 6 является сложной, дисперсия 9 , как показывают приводимые ниже примеры, в зависимости от значений b 2 и g 2 может быть как больше 1, так и меньше 1, но согласно неравенству 7 никогда не превосходит 12. Если же вам нужны дополнительные объяснения, обращайтесь ко мне!

Пусть объемы выборок достаточно велики, так что можно пользоваться асимптотической нормальностью статистики Вилкоксона. Тогда в соответствии с формулами (1) статистика T будет асимптотически нормальна с параметрами

Использование критерия Т Вилкоксона для решения задачи 5

Когда объемы обеих выборок безгранично растут, распределения статистик Вилкоксона и Манна-Уитни являются асимптотически нормальными (см., например, [7, гл. 5 и 6]) с параметрами, задаваемыми формулами (1) .

Содержание

Критерий предназначен для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность, то есть, способен определить, является ли сдвиг показателей в одном направлении более интенсивным, чем в другом.

Нулевые сдвиги исключаются из рассмотрения. (Это требование можно обойти, переформулировав вид гипотезы. Например: сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону их уменьшения и тенденцию к сохранению на прежнем уровне.)

Сдвиг в более часто встречающемся направлении принято считать «типичным», и наоборот.

Есть также урезанный вариант для сравнения одной выборки с известным значением медианы.

Мнение эксперта

Витальева Анжела, консультант по работе с офисными программами

Со всеми вопросами обращайтесь ко мне!

Задать вопрос эксперту

В эконометрике наиболее часто применяется уровень значимости Тогда значение модуля статистики Т Вилкоксона надо сравнивать с граничным значением. Если же вам нужны дополнительные объяснения, обращайтесь ко мне!

Величина S₁ может быть использована для контроля вычислений. Дело в том, что суммы рангов элементов первой выборки S и второй выборки S₁ вместе составляют сумму рангов объединенной выборки, т.е. сумму всех натуральных чисел от 1 до m+n. Следовательно,

Критерий Уилкоксона — это. Что такое Критерий Уилкоксона?

1. Составить список испытуемых в любом порядке, например, алфавитном.
2. Вычислить разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах. Определить, что будет считаться типичным сдвигом.
3. Согласно алгоритму ранжирования, проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя меньшему значению меньший ранг, и проверить совпадение полученной суммы рангов с расчетной.
4. Отметить каким-либо способом ранги, соответствующие сдвигам в нетипичном направлении. Подсчитать их сумму Т.
5. Определить критические значения Т для данного объема выборки. Если Т-эмп. меньше или равен Т-кр. – сдвиг в «типичную» сторону достоверно преобладает.

Введем некоторые обозначения. Пусть F -1 (t) — функция, обратная к функции распределения F(x). Она определена на отрезке [0;1]. Положим L(t) = G(F -1 (t)). Поскольку F(x) непрерывна и строго возрастает, то F -1 (t) и L(t) обладают теми же свойствами. Важную роль в дальнейшем изложении будет играть величина a = P(X < Y). Как нетрудно показать,

Полезные сведения → Как объединить ячейки → Как вставить значения → Аргументы функции → Работа с форматами → Функция ЕСЛИ → Как удалить пробелы → Функция впр vlookup→ Работа с таблицами