Урок «Наименьшее общее кратное»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Международный конкурс по экологии «Экология России»
Доступно для всех учеников 1-11 классов и дошкольников
Наименьшее общее кратное (по учебнику С.М. Никольского). 5-й класс
- дать определение наименьшего общего кратного, показать способы нахождения НОК;
- сформировать способность к использованию выведенного алгоритма для решения задач;
- отработать навыки нахождения наименьшего общего кратного;
- повторить и закрепить понятие простого и составного числа, разложение чисел на простые множители.
1 этап. Организационный момент. Проверка домашнего задания.
Дано:
а = 2 × 2 × 3 × 5 × 7
в = 2 × 3 × 3 × 7 × 5
с = 3 × 5 × 7 × 11
- Можно ли утверждать, что числа а, в и с делятся на 14?
- Найдите частное от деления а на 14, в на 14?
- Во сколько раз нужно увеличить а, чтобы получить число, делящееся на в?
Такие числа называются кратными числу 12 т е. числа делящиеся на 12.
Мы видим, что имеются числа, кратные одновременно 12 и 18. Например 36, 72, 108 и т.д. Эти числа называются общими кратными чисел 12 и 18.
Итак, наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на каждое из чисел a и b. Это обозначают так НОК (a, b).
Наименьшее общее кратное двух чисел обычно находят одним из двух способов. Рассмотрим их.
I способ. Будем выписывать числа, кратные 24 (большему из данных чисел), проверяя, делится ли каждое из них на 18:
24 × 1 = 24 – не делится на 18,
24 × 2 = 48 – не делится на 18,
24 × 3 = 72 – делится на 18, поэтому НОК (24, 18) = 72.
II способ. Разложим числа 24 и 18 на простые множители:
НОК (24, 18) должно делиться и на 24 и на 18. Поэтому искомое число содержит все простые делители большего числа 24 (т.е. числа 2, 2, 2, 3) и ещё множители из разложения меньшего числа 18, которых нет в разложении числа большего 24 (т.е. ещё одно число 3). Поэтому НОК (24, 18) = 23 × 32 = 72.
Итак, сформулируем правило с помощью которого можно находить НОК нескольких чисел:
3. Найдите НОК (24, 25). Заметим, что числа 24 и 25 являются взаимно простыми т.е. общих простых делителей они не имеют. Следовательно, их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
4. Найдите НОК (120, 24). Заметим, что 120 делится на 24, значит наименьшее кратное этих чисел равно большему из них т.е. НОК (120, 24) = 120.
6. Решим задачу №685. Из двух сцеплённых шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая – 28 зубцов. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать?
Решение. Так как НОК (16, 28) = 112, то первая шестерёнка должна сделать 112 / 6 = 7 оборотов, а вторая шестерёнка – 112 / 28 = 4 оборота.
Ответ: 7 оборотов и 4 оборота.
Мы познакомились с правилом нахождения наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел, использовали его при решении задач. А теперь ответьте, пожалуйста, на вопросы на вопросы:
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число НЕ делится на пять.
Урок Наименьшее общее кратное
1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок).
2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки.
S = 16 ∙ 20 = 320 ( см ² ) – площадь дна 1 коробки.
3) 320 ∙ 80 = 25600 ( см ² ) – площадь квадратного дна.
4) S = а² = а ∙ а
25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика.
Ответ: 160 см — сторона квадратного дна.
Свойства НОД и НОК
Для любых натуральных a,b,C,d справедливы следующие свойства.
4. Если то
5. Если , то
6.Общий множитель С можно выносить из-под знаков НОД и НОК:
7.Два (три) последовательных натуральных числа взаимно просты:
8.Пошаговое (,последовательное) вычисление НОД и НОК:
9.Если b > а , то НОД(а,Ь)= НОД(а,b- а).
10. Если при делении числа а на число b получается ненулевой остаток q
Знание указанных свойств позволяет на практике упрощать решение многих задач, в которых используются понятия НОД и НОК.
Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, алгоритмы их нахождения и свойства
В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход?
Наименьшее общее кратное (НОК)
Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.
2) 60 : 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход.
3) 60 : 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход.
4) 60 : 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход.
Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов.
Калькулятор онлайн — Нахождение (вычисление) НОД и НОК (с подробным решением)
Понятие наибольшего общего делителя (НОД) распространяется на любой набор из более чем двух целых чисел. Чаще всего НОД используется для сокращения дроби — если найти НОД числителя и знаменателя, то на это число можно сократить числитель и знаменатель данной дроби.
