Взвешенный метод наименьших квадратов — Weighted least squares
Эта статья или раздел может потребоваться очистить или обобщить потому что он был разделен с / на Наименьших квадратов и Линейный метод наименьших квадратов (математика).
Взвешенный метод наименьших квадратов (WLS), также известный как взвешенная линейная регрессия, [1] [2] является обобщением обыкновенный метод наименьших квадратов и линейная регрессия в котором ошибки ковариационная матрица разрешено отличаться от единичная матрица.WLS также является специализацией обобщенный метод наименьших квадратов в котором указанная выше матрица диагональ.
Метод наименьших квадратов
Теперь вы научились применять метод МНК и даже опробовали его на конкретном примере. Процедура не выглядит сложной. Если действовать по нашей инструкции, то можно с легкостью добиться желаемого результата в Microsoft Excel. А мы лишь надеемся, что наша статья была вам полезной.
Метод наименьших квадратов
Теперь вкратце о методе наименьших квадратов (МНК) и о том, где его можно применять.
Допустим, у нас есть набор данных после совершения нами какого-то эксперимента, где мы изучали влияния величины Х на величину Y.
Мы хотим это влияние описать математически, чтобы потом этой формулой пользоваться и знать, что, если мы поменяем величину Х на столько-то, получим величину Y такую-то.
Ежу понятно, что точки расположились друг за другом как будто по прямой, а потому мы смело предполагаем, что наша зависимость описывается линейной функцией y=kx+b. При этом мы точно уверены, что при X равном нулю значение Y тоже равно нулю. Значит, функция, описывающая зависимость, будет еще проще: y=kx (вспоминаем школьную программу).
В общем, нам предстоит найти коэффициент k. Вот это мы и сделаем с помощью МНК с применением надстройки «поиск решения».
Итак, приступим к тренировке по использованию МНК и надстройки Excel «поиск решения» .
Метод наименьших квадратов в экселе уроки. Метод наименьших квадратов и поиск решения в Excel. Использование метода в Экселе
- Метод наименьших квадратов.
- Метод максимального правдоподобия (для нормальной классической линейной модели регрессии постулируется нормальность регрессионных остатков).
- Обобщенный метод наименьших квадратов ОМНК применяется в случае автокорреляции ошибок и в случае гетероскедастичности.
- Метод взвешенных наименьших квадратов (частный случай ОМНК с гетероскедастичными остатками).
Наиболее часто для оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК).
Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (u) и независимой переменной (x) (см. предпосылки МНК).
0.15 | 0.16 | 0.17 | 0.18 | 0.19 | 0.20 |
4.4817 | 4.4930 | 5.4739 | 6.0496 | 6.6859 | 7.3891 |
Как изобразить МНК на графике функций
Метод наименьших квадратов наглядно показан на графической иллюстрации. С помощью красной линии отмечена прямая g ( x ) = x + 1 3 + 1 , синей – y = 0 , 165 x + 2 , 184 . Исходные данные обозначены розовыми точками.
Поясним, для чего именно нужны приближения подобного вида.
Они могут быть использованы в задачах, требующих сглаживания данных, а также в тех, где данные надо интерполировать или экстраполировать. Например, в задаче, разобранной выше, можно было бы найти значение наблюдаемой величины y при x = 3 или при x = 6 . Таким примерам мы посвятили отдельную статью.
Взвешенный метод наименьших квадратов
- Сделаем предположение, что данное неравенство будет верным для n , т.е. n ∑ i = 1 n ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – справедливо.
- Теперь докажем справедливость при n + 1 , т.е. что ( n + 1 ) ∑ i = 1 n + 1 ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0 , если верно n ∑ i = 1 n ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .
Взвешенный метод наименьших квадратов (WLS), также известный как взвешенная линейная регрессия, [1] [2] является обобщением обыкновенный метод наименьших квадратов и линейная регрессия в котором ошибки ковариационная матрица разрешено отличаться от единичная матрица.WLS также является специализацией обобщенный метод наименьших квадратов в котором указанная выше матрица диагональ.
Оценка точности
При любой аппроксимации особую важность приобретает оценка ее точности. Обозначим через ei разность (отклонение) между функциональными и экспериментальными значениями для точки xi, т. е. ei = yi — f (xi).
Решить вопрос можно, используя модули отклонений или их квадраты. Последний метод получил наиболее широкое распространение. Он используется во многих областях, включая регрессионный анализ (в Excel его реализация осуществляется с помощью двух встроенных функций), и давно доказал свою эффективность.
Метод наименьших квадратов в Excel. Регрессионный анализ
- диапазон известных значений для Y (в данном случае данные для товарооборота);
- диапазон x1, …xn, т. е. величины торговых площадей;
- и известные, и неизвестные значения x, для которого нужно выяснить размер товарооборота (информацию об их расположении на рабочем листе см. далее).
Конст — логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0. Если Конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом. Если аргумент Конст имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0 и значения a подбираются так, чтобы выполнялось соотношение y=ax.