Решение систем линейных алгебраических уравнений

Систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными запишем как:

a₁₁ . x₁+a₁₂ . x₂+ . +a_1n . x_n=b₁ ;

a₂₁ . x₁+a₂₂ . x₂+ . +a_2n . x_n=b₂ ;

a_n1 . x₁ + a_n2 . x₂ + . + a_nn . x_n=b_n .

Коэффициенты a_i,j (i=1, 2,. ,n; j=1,2,. ,n) этой СЛАУ можно представить в виде квадратной матрицы n × n:

a₁₁ a₁₂ . a_1n

a₂₁ a₂₂ . a_2n

Систему можно записать в матричном виде A×X=B, где X – вектор-столбец неизвестных; B – вектор-столбец правых частей.

Методы решения СЛАУ делятся на две группы – прямые и итерационные.

Метод Крамера(правило Крамера)— метод решения СЛАУ с количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Прикладное ПО, применяемое для решения СЛАУ — МегаЛекции

Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. , то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.

Решение Слау Методом Обратной Матрицы в Excel

БлогNot. Основные прямые и итерационные методы решения СЛАУ в MathCAD

Как известно, решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — весьма распространённый на практике тип задач. Теорию можно почитать по ссылке, а здесь приведём основные расчёты как для прямых (аналитических), так и для итерационных (приближённых) методов решения СЛАУ.

Начнём с прямых. Классический метод обратной матрицы в MathCAD легко реализовать с помощью стандартной функции lsolve или же посредством операции обращения матрицы, код приводить не будем из-за его тривиальности.

Уже двое спросили «а как всё же найти решение методом обратной матрицы?»
Введя данные, как на картинке ниже, под данными написать одну из формул x:=A -1 *b или x:=lsolve(A,b)
Затем ещё ниже сделать x=

С учётом всего сказанного, реализуем метод Крамера и проверку полученного решения:

В теле функции det оператор |A| — это не модуль числа с панели «Калькулятор», а похожая внешне кнопка «Определитель» с панели «Матрицы»!

Для удобства вектор правой части b записан как (n+1) -й столбец матрицы A , такую матрицу системы называют расширенной.

Реализация более «полноценного» метода Гаусса с выбором ведущего элемента (и перестановкой при необходимости строк матрицы) выполнена в приложенном к статье документе MathCAD, по крайней мере, систему с нулями на главной диагонали матрицы подпрограмма Gauss решила. Её дополнительный параметр — погрешность ε , начиная с которой значение |A_i,j|

На практике нетрудно увидеть общие для всех прямых методов недостатки подхода — трудоёмкость вычислений, требующая брать обратные матрицы или считать определители, следующее из неё довольно быстрое накопление погрешности, наконец, невозможность найти решение с заранее заданной, а не заложенной в алгоритм точностью.

Выбор вектора начального приближения x (0) на практике также обычно прост, принимают x (0) =b , то есть, вектору правой части системы. Можно и просто «занулить» вектор x (0) .

Обратите внимание, что нам пришлось «схитрить» при расчёте сумм s1 и s2 — MathCAD просто не сможет вычислить сумму с нижним пределом суммирования =1 и верхним =0 (или нижним n и верхним n-1 ). По той же причине дополнительные проверки сделаны и в процедуре Gauss .

В основной «бесконечный» цикл подпрограммы имеет смысл добавить аварийный выход оператором break , например, по выполнении 10000 шагов.

Также, в этом и следующем методе в строчке с break точнее был бы критерий выхода |max(x1-x0)|≤ε , где | | — значок модуля числа с панели калькулятора.

Метод Якоби является вариантом метода простых итераций, в котором используемые в итерационной процедуре матрица C и вектор β определяются по формулам

Вот расчёт методом Якоби с критерием выхода «максимальный модуль разности между проекциями x1 (k) _i и x0 (k) _i стал меньше либо равен заданной точности ε :

Метод Якоби

При расчёте r применены операторы «Векторизовать» с панели «Матрицы» и «Модуль» с Калькулятора, а при расчёте элементов С и β деление выполнено «в строчку» для экономии места.

Норма вектора |A*x-b| , как и другие нормы в статье, берётся кнопкой |x| с Калькулятора, а не похожей на неё кнопкой с панели «Матрицы».

Для копирования прибегнем к использованию маркера заполнения. Наводим курсор на нижний правый угол ячейки, в которой расположена формула. Курсор преобразуется в черный крестик. Это и есть маркер заполнения. Зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем курсор по всему вышеуказанному диапазону. Сама начальная ячейка с формулой должна стать левым верхним элементом данного массива.

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе относительно x₂ и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

Решение СЛАУ в MS EXCEL

С системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) часто приходится сталкиваться не только в курсе математики. Их решение пригодится в других науках, например, физике или химии.

Систему из двух уравнений часто можно решить способом подстановки. Системы трех и более уравнений приходится решать другими способами. К ним относятся:

Мы рассмотрим решение одной и той же простой системы уравнений первыми двумя способами, чтобы сравнить результаты. Если при решении разными способами ответы будут совпадать, значит СЛАУ решена верно.

Как известно, решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — весьма распространённый на практике тип задач. Теорию можно почитать по ссылке, а здесь приведём основные расчёты как для прямых (аналитических), так и для итерационных (приближённых) методов решения СЛАУ.

Способ 2: использование составной формулы

4. Появившееся диалоговое окно ТРАНСП мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы A1:E2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 1.2).