Как сделать квадратное уравнение в excel?

В данном проекте затрагиваются вопросы решения квадратных и биквадратных уравнений с помощью табличного процессора MS Excel. Представлены модели для решения квадратных уравнений с помощью алгебраического метода, по теореме Виета и графического метода, а также построила модель биквадратного уравнения.

« Недостойно одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы на вычисления, которые, безусловно, можно было бы доверить любому лицу, если при этом применить машину»

Первобытная мама по имени (впрочем, у неё и имени- то не было) сорвала с дерева 12 яблок и решила поделить их между своими четырьмя детьми. Она не умела считать ни до четырёх, ни до двенадцати. Она поступила так: дала каждому по одному яблоку, потом ещё по одному, потом ещё по одному, и увидела, что и яблок больше нет, и никто из детей не обижен.

Сегодня эту задачу можно решить уравнением 4х=12. Таким образом, уравнение, как метод решения задач, появился очень давно.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и вт о рой степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Я задалась вопросом. А можно ли использовать компьютер для быстрого решения квадратного и биквадратного уравнений и как это сделать?

В данном проекте затрагиваются вопросы решения квадратных и биквадратных уравнений с помощью табличного процессора MS Excel. Я попыталась построить модель для решения квадратных уравнений с помощью алгебраического метода, по теореме Виета и графического метода, а также построила модель биквадратного уравнения.

Решение квадратных уравнений через дискриминант с помощью табличного процессора MS Excel.

Итак, моя задача сводилась к следующему: по известным коэффициентам квадратного уравнения вычислить дискриминант, сделать вывод о наличии корней и, если корни есть, найти их.

В электронной таблице пользователю предоставляется возможность ввести любые коэффициенты квадратного уравнения. Благодаря введенным формулам в ЭТ вычисляется дискриминант и корни квадратного уравнения, если таковы имеются.

Ниже представлена технология решения квадратного уравнения в MS Excel : х 2 — 3х + 2 = 0

(Если все сделали правильно, то в ячейке B4 будет число 1).

Решение квадратных уравнений по теореме Виета с помощью табличного процессора MS Excel

Франсуа Виет заметил некоторую закономерность между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Сегодня эта теорема в школьном учебнике алгебры звучит так: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Ниже представлена технология решения приведённого уравнения в MS Excel:

2. В ячейки В3:В5 введите соответствующие значения коэффициентов: 1, 2, -3.

(Если все сделали правильно, то в ячейке В6 будет число 16).

1. В ячейку А7 введите текст «Есть ли корни?».
2. В ячейку В7 введите формулу =ЕСЛИ($B$6 =0;G4>=0);-КОРЕНЬ(F4)
3. В ячейку I4 поместить формулу для вычисления x 2
   =ЕСЛИ(E4 =0;G4>=0);-КОРЕНЬ(F4)
4. В ячейку J4 поместить формулу для вычисления x 3
   =ЕСЛИ(E4 =0;G4>=0);-КОРЕНЬ(G4);
5. В ячейку K4 поместить формулу для вычисления x 4
   =ЕСЛИ(E4 =0;G4>=0); + КОРЕНЬ(G4); ЕСЛИ(И(G4>=0;H4

Применение табличного процессора MS Excel для решения квадратных и биквадратных уравнений Страница

45 Шаг 3. Проверка. Умножим матрицу А на найденный вектор Х В результате мы должны получить вектор В Выделим диапазон М2:М4 и введем функцию = МУМНОЖ(А2:С4;К2:К4) Для вставки массива нажать комбинацию клавиш SHIFT+ CTRL+ENTER

Как решить систему уравнений в Excel » Компьютерная помощь

55 5. Выделите диапазон А13:Е13 и введите формулу массива, которая обращает в 0 коэффициент при х 2 третьего и четвертого уравнений системы =A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7) Для вставки элементов массива нажать SHIFT+ СTRL+ENTER Затем скопировать массив А13:Е13 в диапазон А14:Е14

Метод Гаусса

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

1. Прямой ход: система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

2. Обратный ход: идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Функции G(х₁, х₂, … , х_n) называются ограничениями. Их можно задать как в виде равенств, так и неравенств. На регулируемые ячейки можно наложить дополнительные ограничения: неотрицательности и/или целочисленности, тогда искомое решение ищется в области положительных и/или целых чисел.

Презентация на тему: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ MS EXCEL. Решение линейных уравнений уравнений с помощью средства «Подбор параметра» Пример 1 Найти все корни уравнения 3cos2x-sinx.. Скачать бесплатно и без регистрации.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

	Для этого в столбец, где стоит переменная х, а значит в первый столбец, вместо коэффициентов при х, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений
	Для этого в столбец, где стоит переменная y (2 столбец), вместо коэффициентов при y, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений
	Для этого в столбец, где стоит переменная z, а значит втретий столбец, вместо коэффициентов при z, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений

Решение СЛАУ с помощью надстройки Поиск решения

Пример 1.2: Найти решение СЛАУ из примера 1.1, используя надстройку Поиск решения.

При решении СЛАУ приложение Excel использует итерационные (приближенные) методы. Строится последовательность приближений , i=0,1,…n. Назовем вектором невязок следующий вектор:

(1.9)

Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение , при котором вектор невязок был бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы .

1.

Возьмем новый лист (а можно и на том же). Заготовим таблицу, как показано на рис.1.2.

3. Введем коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

4. В столбец D введем выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейке D3 введем и скопируем вниз до конца таблицы формулу: D3=СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$7:$C$7).

Используемая функция СУММПРОИЗВ принадлежит категории Математические.

5. В столбец Е запишем значения правых частей системы матрицу .

6. В столбец F введем невязки в соответствии с формулой (1.9), т.е. введем формулу F3=D3-E3 и скопируем ее вниз до конца таблицы.

7. Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

8. Зададим команду меню Сервис\Поиск решения. В окне Поиск решения (рис.1.3) в поле Изменяя ячейки укажем блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $F$3:$F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.

Полученное решение системы (1.8) х₁=1; х₂=-1 х₃=2 записано в ячейках А7:С7, рис.1.2.

3) Какой должна быть величина шага при отделении корней?

4) Какие условия должны быть выполнены для применения метода половинного деления отрезка?

Лабораторная работа 6. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Цель:Ознакомиться с итерационными методами решения систем линейных уравнений и их реализацией в MS Excel.

Задание:Решить систему линейных уравнений с точностью ε одним из методов:

Алгоритмы методов и их реализация в ms excel

1. Выписать для системы матрицу коэффициентов и вектор правой части .

2. Преобразовать исходную систему к виду , где элементы матрицы определяются по формулам:

,
,
элементы столбца :

.

5. Задать вектор нулевого приближения .

6. Вычислить координаты вектора следующего, более точного приближения к решению по итерационной формуле:

оценить погрешность ;

итерационный процесс заканчивается, как только .

9. Рассчитать элементы матрицы и столбца :

10. Уточнение корней системы линейных уравнений методом Якоби с помощью таблицы вычислений (в качестве начального приближения выбрать значения столбца ):

Примечание: Фигурные скобки означают, что соответствующая формула выводится массивом, т. е. с использованием комбинации Ctrl + Shift + Enter.

Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):

создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…, на которой удалить ячейки с итерационным процессом:

настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;

организовать в таблице циклические ссылки: в ячейках, где хранились старые значения корней, поставить ссылку на ячейки, где рассчитаны новые, более точные значения корней:

нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:

После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.

Лабораторная работа 7. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Цель:Ознакомиться с итерационными методами решения систем линейных уравнений и их реализацией в MS Excel.

Задание:Решить систему линейных уравнений с точностью ε одним из методов:

Выписать для системы матрицу коэффициентов и вектор правой части .

Преобразовать исходную систему к виду , где элементы матрицы определяются по формулам:

,
,
элементы столбца :

.

Задать вектор нулевого приближения .

Вычислить координаты вектора следующего, более точного приближения к решению по итерационным формулам:

оценить погрешность ;

итерационный процесс заканчивается, как только .

Расположить на листе исходные данные и уточнить корни системы линейных уравнений методом Зейделя с помощью таблицы вычислений (в качестве начального приближения выбрать значения столбца F):

Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):

создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…, на которой удалить ячейки с итерационным процессом:

настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;

организовать в таблице циклические ссылки: в ячейках, где хранились старые значения корней, поставить ссылку на ячейки, где рассчитаны новые, более точные значения корней:

нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:

После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.

Поскольку подсчет номера итерации и расчет погрешности работают некорректно, следует модифицировать формулы:

После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.

Цель: Ознакомиться с численными методами получения аналитической зависимости по экспериментальным точкам и их реализацией в MS Excel.

2)Оценить погрешность полученного значения.

1) Постановка задачи интерполирования. Геометрическая иллюстрация.

2) В чем различие между задачами интерполяции и задачами экстраполяции?

3) Привести формулу Лагранжа. Дать оценку погрешности.

4) Как выглядит формула Лагранжа для равностоящих узлов?

5) От чего зависит точность получаемого формулой Лагранжа результата?

6) Когда полином порядка будет аппроксимирован формулой Лагранжа с наименьшей погрешностью?

Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без нарушения ограничений задачи. Для каждой изменяемой ячейки этот отчет содержит оптимальное значение, а также наименьшие значения, которые ячейка может принимать без нарушения ограничений.

Графический способ решения уравнений и систем уравнений в среде Microsoft Excel. математика, уроки

сформировать умения производить простейшие расчеты в электронной таблице с помощью формул и стандартных функций, строить графики различных функций в одной координатной плоскости по алгоритму построения диаграмм, применять электронные таблицы для решения задач, табулировать функцию с двумя изменяющимися аргументами, использовать средства автоматизации.
1.

Возьмем новый лист (а можно и на том же). Заготовим таблицу, как показано на рис.1.2.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ MS EXCEL. Решение линейных уравнений уравнений с помощью средства «Подбор параметра» Пример 1 Найти все корни уравнения 3cos2x-sinx. — презентация

2 Решение линейных уравнений уравнений с помощью средства «Подбор параметра» Пример 1 Найти все корни уравнения 3cos2x-sinx = 0 при x [0;3]

3 Шаг 1 Табулируем функцию 3cos2x-sinx = 0 с шагом 0,3 на отрезке [0;3] . При решении уравнений с помощью средства Подбор параметра значения переменной должны быть заданы числом

4 Из таблицы значений видно, что функция на [0;3] меняет знак два раза: при х [0,6;0,9] и х [2,4;2,7], на этих отрезках есть точки пересечения функции с осью Х

5 Найдем корни полинома методом последовательных приближений с помощью средства поиск решения: Сервис > Подбор параметра

6 Скопируйте формулу из ячейки В2 в F2 (теперь формула ссылается на пустую ячейку Е2, поэтому в F2 отражается 0) Установите в ячейку Е2 значение переменной из [0,6;0,9], например х=0,7

7 Зададим относительную погрешность вычислений 0,00001 и предельное число итераций 1000 Сервис > Параметры > Вычисления

9 В качестве начальных значений приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней, например 0,7 и 2,5

10 Установите курсорную рамку в ячейку F2 и выполните Сервис, Подбор параметра Аналогично найдите второй корень уравнения

11 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ MS EXCEL С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВА «ПОИСК РЕШЕНИЯ»

12 Пара (х;у) является решением системы уравнений тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнения с двумя неизвестными: (х 2 +у 2 -3) 2 +(2х+3у-1) 2 =0

13 Решением системы — точки пересечения окружности r=3 и прямой уравнение имеет не более двух различных решений Определяемое значение нелинейной задачи зависит от начального приближения

14 Для локализации корней протабулируем левую часть уравнения (х 2 +у 2 -3) 2 + (2х+3у-1) 2 = 0 по переменным х и у на [-3;3] шагом 1,5

15 Протабулируем функцию с помощью таблицы подстановки F(x;y)=(х 2 +у 2 -3) 2 +(2х+3у-1) 2

16 Из таблицы видно, что начальное приближение к корню следует выбрать следующие пары значений (-1,5;1,5), (1,5;0) и (1,5;1,5)

17 Для нахождения корней уравнения введем соответствующие пары значений (х; у) для первого корня в ячейки в А10, А11 для второго корня в ячейки в А14,А15 для третьего корня в ячейки в А17,А18 F(x;y) соответственно в ячейки В13, В16, В19

18 Найдем первый корень. 1.Установить курсорную рамку в ячейке В15 2.Выполнить Сервис > Поиск Решения

20 В окне Поиск решения установить целевую ячейку В13, равной значению 0, изменяя ячейки $A$11:$A$12 Нажмите кнопку Параметры и убедитесь, что снят флажок Линейная модель

21 После нажатия кнопки Выполнить средство Поиск решения находит решение, которое помещает в ячейки А11, А12 Аналогично находим второй и третий корни. Решением уравнения будут две пары значений (-1,269;1,179) (1,576;-0,717)

23 Простейшие операции над массивами МАССИВ — объект Excel, используемый для получения нескольких значений в результате вычисления одной формулы или для работы с набором аргументов, расположенных в различных ячейках и сгруппированных по строкам или столбцам.

24 Два типа массивов Microsoft Excel : диапазон массива — непрерывный диапазон ячеек, использующих общую формулу; диапазон констант — набор констант, используемых в качестве аргументов функций.

25 диапазон констант — набор констант, используемых в качестве аргументов функций диапазон массива — непрерывный диапазон ячеек, использующих общую формулу;

26 Массив констант может включать: Числа (целые, с десятичной точкой или в экспоненциальном формате) Текст (должен быть взят в двойные кавычки) Логические значения (ИСТИНА, ЛОЖЬ или значения ошибок например #Н/Д) Элементы разного типа. Массив констант не может содержать Формулы. $ (знак доллара) Скобки % (знак процента) Ссылки на ячейки Столбцы или строки разной длины

27 Для умножения (деления) массива на число: 1.Выделить диапазон ячеек того же размера 2.Ввести в первую ячейку диапазона формулу =Е1:G3*100 и нажать комбинацию клавиш SHIFT+ CTRL+ENTER Если в формуле используется ссылка на ячейку в которой хранится число, то ссылка на эту ячейку должна быть абсолютной

28 Формула массива обрабатывает несколько наборов значений (аргументов массива). Каждый аргумент массива должен включать одинаковое число строк и столбцов. Формула массива создается так же, как и другие формулы, только что для ввода такой формулы используются комбинация клавиш SHIFT+ CTRL+ENTER

30 Формула массива может выполнить несколько вычислений, а затем вернуть одно значение или группу значений. Пример Рассчитать суммарный балл оценки экспертом качества услуги по формуле: Si — суммарный балл Wi – вес критерия Ci – оценка критерия экспертом N – количество критериев

31 Способ решения 1 1.Введите в ячейку D2 формулу =В2*С2 и скопируйте ее в ячейки диапазона D3:D7 2.Введите в ячейку D8 формулу = СУММ(D2:D7) 3.В ячейке D9 вычислите значение S = D86

33 Функцию можно ввести в ячейку с клавиатуры или с помощью средства Мастер функций Каждая функция выводится в стандартном окне диалога Для ввода аргумента достаточно указать в соответствующих полях числовые значения аргументов, адреса ячеек или адреса диапазонов ячеек

35 Окно диалога функции Суммпроизв() Результат вычисления формулы — число

36 Функции для работы с массивами МУМНОЖ(массив1;массив2) — перемножает массивы. Массивы (матрицы) должны быть одной размерности и оба массива должны содержать только числа.

37 МОБР(массив)- возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве

38 ТРАНСП(массив) — используется для того, чтобы поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

39 МОПРЕД(массив) — возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве). Определитель матрицы — это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Для массива A1:C3, состоящего из трех сток и тех столбцов, определитель вычисляется следующим образом: = A1*(B2*C3-B3*C2) + A2*(B3*C1-B1*C3) + A3*(B1*C2-B2*C1)

40 СУММСУММКВ(массив_x;массив_y) — возвращает сумму сумм квадратов соответствующих элементов двух массивов. Сумма сумм квадратов — это распространенный термин во многих статистических вычислениях. Массив_x — это первый массив или интервал значений. Массив_y — это второй массив или интервал значений.

42 ЧИСЛСТОЛБ(массив) — возвращает количество столбцов в ссылке или массиве: =ЧИСЛСТОЛБ(A1:D9) в ячейке отображается число 4 ЧСТРОК(массив) — возвращает количество строк в ссылке или массиве. = ЧСТРОК (A1:D9) в ячейке отображается число 9 Статистические функции, который используются для прогнозирования Тенденция(), Рост(), Предсказ(), Линейн() также используют правило ввода значений массива

43 Решение матричных уравнений в EXCEL Найти решение уравнения А*Х=В А-матрица коэффициентов В- столбец (вектор) свободных членов Х-столбец (вектор)неизвестных Решение линейной системы имеет вид: Х=А -1 *В А -1 – обратная матрица

44 Шаг 1. Вычислим А -1 с помощью функции =МОБР(массив) Шаг 2. Выделить диапазон К2:К4 для элементов массива вектора Х и ввести формулу =МУМНОЖ(E2:G4;I2:I4) Для вставки массива нажать комбинацию клавиш SHIFT+ CTRL+ENTER

45 Шаг 3. Проверка. Умножим матрицу А на найденный вектор Х В результате мы должны получить вектор В Выделим диапазон М2:М4 и введем функцию = МУМНОЖ(А2:С4;К2:К4) Для вставки массива нажать комбинацию клавиш SHIFT+ CTRL+ENTER

46 Самостоятельно решить системы линейных уравнений А 2 *Х=В и А 3 *Х=В

47 Решить уравнение Z=Х т A X А-матрица, Х-вектор, Х T — транспонированный вектор Шаг1. Найти транспонированный вектор Х T Выделать диапазон G2:I2 и ввести формул =ТРАНСП(E2:E4) для ввода массива значений нажать SHIFT+ CTRL+ENTER

48 Шаг2. Умножить полученную строку Х T на матрицу Авыделить диапазон К2:М2 и ввести формулу =МУМНОЖ(G2:I2;A2:C4) Шаг 3. В отдельную ячейку введите формулу =МУМНОЖ(K2:M2;E2:E4) – результат вычисления число 227, но для ввода нажать SHIFT+ CTRL+ENTER

49 Это же решение можно получить путем ввода в ячейку одной формулы, содержащей вложенные функции: =МУМНОЖ(МУМНОЖ(ТРАНСП(E2:E4);A2:C4);E2:E4) Самостоятельно решить уравнения: 1. Z=Y т A т AY 2. Z=Y т A т A 2 Y

51 1. Ввести матрицу коэффициентов в ячейки рабочего листа MS Excel 2. Скопировать первую строчку (диапазон А1:Е6) в диапазоны А6:Е6 А11:Е11 А16:Е16

54 4. Выделить диапазон А7:Е7 и скопируйте значения в буфер Выделите диапазон А12:Е12 и выполните вставку значений без формул используйте команду Правка, специальная вставка Аналогично вставьте значения в диапазон А17:Е17

55 5. Выделите диапазон А13:Е13 и введите формулу массива, которая обращает в 0 коэффициент при х 2 третьего и четвертого уравнений системы =A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7) Для вставки элементов массива нажать SHIFT+ СTRL+ENTER Затем скопировать массив А13:Е13 в диапазон А14:Е14

56 5. Выделите диапазон А19:Е19 и введите формулу массива, которая обращает в 0 коэффициент при х 3 =A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13) Для вставки элементов массива нажать SHIFT+ СTRL+ENTER Прямая прогонка метода Гаусса завершена

57 Обратная прогонка заключается в вводе формул : В диапазон G4:K4 =A19:E19/D19 В диапазон G3:K3 =(A18:E18-G4:K4*D18)/C18 В диапазон G2:K2 =(A17:E17-G4:K4*D17-G3:K3*C17)/B17 В диапазон G1:K1 =(A16:E16-G4:K4*D16-G3:K3*C16-G2:K2*B16)/A16

4. В столбец D введем выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейке D3 введем и скопируем вниз до конца таблицы формулу: D3=СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$7:$C$7).

Решение СЛАУ с помощью надстройки Поиск решения

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение