Метод Крамера

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac$

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
4. После того как найдены все детерминанты $D_1$. $D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac$.

Функция имеет вид ТРАНСП (массив). Здесь массив – это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере.

Функция для умножения матриц в excel. Решение системы уравнений в Excel методом Крамера и обратной матрицы

• Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер m × n , то транспонированная матрицаА Т имеет размер n × m .

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Метод Крамера с примерами решения

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними. Что же такое матрица? Как выполняются действия с матрицами?

Калькулятор онлайн — Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): метод Гаусса, матричный метод, методом Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

В качестве аргументов из группы «Массив» используется ссылка на конкретный диапазон, который нужно перемножить. Всего может быть использовано от двух до 255 таких аргументов. Но в нашем случае, так как мы имеем дело с двумя матрицами, нам понадобится как раз два аргумента.

Нахождение определителя матрицы

Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.

Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).

Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.

Вычислить значения корней сформированной системы уравнений двумя методами: обратной матрицы и методом Крамера.

Введем данные значения в ячейки А2:С4 – матрица А и ячейки D2:D4 – матрица В.

Решение системы уравнений методом обратной матрицы

Решение системы уравнений методом Крамера

Решим систему методом Крамера, для этого найдем определитель матрицы.
Найдем определители матриц, полученных заменой одного столбца на столбец b.

Найдем корни уравнения, для этого в ячейку В21 введем: =B16/$B$15, в ячейку В22 введем: = =B17/$B$15, в ячейку В23 введем: ==B18/$B$15.

Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер m × n , то транспонированная матрицаА Т имеет размер n × m .

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

14x1 +2x2 +8x4 =218
7x1 -3x2 +5x3 +12x4 =213
5x1 +x2 -2x3 +4x4 =83
6x1 +2x2 +x3 -3x4 =21

Просмотр содержимого документа
«Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

• Познакомиться с методом Крамера для решения систем линейных уравнений
• Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера
• Определить , может ли облегчить этот метод решение систем линейных уравнений
• Исследовать систему линейных уравнений на количество решений , используя метод Крамера
• Рассмотреть задачи на практическое применение метода Крамера

Самая известная из работ Крамера — трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» , опубликованная в 1750 году.

Для доказательства одной из теорем он строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера .

Крамер рассматривал систему из линейных уравнений c

Рассмотрим систему из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными

При решении системы из линейных уравнений c

неизвестными , Крамер использовал понятие

Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел

Квадратная матрица – матрица размером

Составим квадратную матрицу из коэффициентов при неизвестных

« Определитель – число . Для матрицы размером оно

«Вычитаем произведение элементов побочной диагонали »

«Потренируйтесь: Найдите определитель матрицы »

Для проведения опыта были выбраны три системы приведенные к виду:

Время решения каждого способа фиксировал

Исследование системы линейных уравнений на количество решений

Система из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными , может

Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:

Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:

Применение метода Крамера к решению систем линейных уравнений с параметром

Найдите все значения параметра при которых система:

Найдите все значения параметра при которых система:

Найдите все значения параметра при которых система:

Найдите все значения параметра при которых система:

Найдите все значения параметра при которых система:

Найдите все значения параметра при которых система:

Найдите все значения параметра при которых система:

$D = \begin 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

Метод ⚠️ Крамера: в чем суть, как применяется для решения систем линейных уравнений

Для копирования прибегнем к использованию маркера заполнения. Наводим курсор на нижний правый угол ячейки, в которой расположена формула. Курсор преобразуется в черный крестик. Это и есть маркер заполнения. Зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем курсор по всему вышеуказанному диапазону. Сама начальная ячейка с формулой должна стать левым верхним элементом данного массива.

Решение систем линейных уравнении с помощью обратной матрицы. формулы крамера

Если D — определитель матрицы А — не равен нулю, то система совместна и определенна, ее решение задается формулой:

Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера: где — определитель, получающийся из D заменой столбца на столбец свободных членов. обратной матрицы.

Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью

Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:

Пример 5.

1. При транспонировании (так называется действие замены строк столбцами и столбцов строками с сохранением их порядка) значение определителя не изменяется. Таким образом, строки и столбцы определителя равноправны.
2. Если определитель содержит нулевую линию (т. е. состоящую из одних нулей) или две параллельные пропорциональные линии, то его значение равно 0.
3. При умножении любой линии на произвольное число значение определителя умножается на это число. Иными словами, общий множитель элементов некоторой линии можно вывести за знак определителя.
4. При перестановке двух параллельных линий значение определителя изменяется на противоположное (определитель меняет знак).
5. Значение определителя не изменится, если к элементам произвольной линии прибавить соответственные элементы любой другой параллельной линии, умноженные на одно и то же число. 7.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \textA = r \). Тогда существует набор из \(k=n-r\) решений \( X^, \ldots , X^ \) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Порядок решения однородной системы уравнений

Метод Крамера – удобный способ решения систем линейных уравнений. Однако однородные системы являются отдельным случаем. Рассмотрим пример:

В том случае, когда определитель \(\Delta\) записанной однородной системы не равен нулю, то есть \(\Delta \neq 0\) такая система обладает единственным решением. Таким образом, вспомогательные определители \(\Delta_= \Delta_=\Delta_= 0\) как такие, у которых имеется нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера (x = y = z =0).

В том случае, когда однородная система имеет решение, не равное нулю, ее определитель \(\Delta\) будет иметь нулевое значение, то есть \(\Delta=0\) . Действительно, если один неизвестный элемент, например х, не равен нулю, тогда, исходя из однородности \(\Delta_= 0\) справедливо равенство \(\Delta*x=0.\) В результате \(\Delta= 0 (x\neq 0)\) .

Метод Крамера позволяет достаточно просто решать системы линейных уравнений. Главное, соблюдать условия применения данного правила. В результате многие задачи из математического анализа станут намного проще. Если при освоении этой и других тем возникают трудности, выход есть. На сервисе Феникс.Хелп каждый учащийся получит квалифицированную помощь.

Для каждого числа а≠0 существует обратное число а -1 , и для квадратных матриц вводится аналогичное понятие. Обратные матрицы обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.

Обратная матрица в Excel

Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо линии на алгебраические дополнения другой параллельной линии равна нулю. Например, для определителя из п. 3 воспользуемся разложением по первой строке.