Проверка Выборки на Нормальность Распределения Excel • Асимметричное распределение

Решения задач на проверку статистических гипотез

Проверка статистических гипотез включает в себя большой пласт задач математической статистики. Зная некоторые характеристики выборки (или имея просто выборочные данные), мы можем проверять гипотезы о виде распределении случайной величины или ее параметрах (примеры этих задач на странице Проверка гипотез о параметрах распределения).

Ниже в примерах мы разберем основные учебные задачи на проверку гипотез о виде распределения. Чаще всего для этого используется критерий согласия $\chi^2$ Пирсона, а также критерий Колмогорова-Смирнова.

Критерий согласия Пирсона (или критерий $\chi^2$ — «хи квадрат») — наиболее часто употребляемый для проверки гипотезы о принадлежности некоторой выборки теоретическому закону распределения (в учебных задачах чаще всего проверяют «нормальность» — распределение по нормальному закону).

В учебных задачах обычно используется следующий алгоритм:

  1. Выбор теоретического закона распределения (обычно задан заранее, если не задан — анализируем выборку, например с помощью гистограммы относительных частот, которая имитирует плотность распределения).
  2. Оцениваем параметры распределения по выборке (для этого вычисляется математическое ожидание и дисперсия): $a, \sigma$ для нормального, $a,b$ — для равномерного, $\lambda$ — для распределения Пуассона и т.д.
  3. Вычисляются теоретические значения частот (через теоретические вероятности попадания в интервал) и сравниваются с исходными (выборочными).
  4. Анализируется значение статистики $\chi^2$ и делается вывод о соответствии (или нет) теоретическому закону распределения.

Подробные примеры на разные распределения и критерии вы найдете ниже.

специалист
Мнение эксперта
Витальева Анжела, консультант по работе с офисными программами
Со всеми вопросами обращайтесь ко мне!
Задать вопрос эксперту
73 Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область Кнабл Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Если же вам нужны дополнительные объяснения, обращайтесь ко мне!
Пример . Имеются следующие данные о количестве заявок на автомобили технической помощи по дням. Помимо общего задания, требуется построить теоретическую кривую нормального распределения и проверить соответствие эмпирического и теоретического распределений по критерию Пирсона.
Скачать решение

Нормальное распределение (Normal Distribution)

Пример 1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X по результатам выборки:
X 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3
N 7 9 28 27 30 26 21 25 22 9 5

Свойства нормального распределения

Кривая стандартного нормального распределения симметрична относительно Среднего арифметического (Mean), Медианы (Median) и Моды (Mode). Более того, также являются нормальным распределением произведение двух нормальных распределений и их сумма. Магия, не правда ли? Существуют и другие, более сложные закономерности, пока обойдемся самыми понятными.

Вы слышали об эмпирическом правиле? Оно часто используется в статистике и гласит: «68,27% наблюдений случайной Выборки (Sample) лежат в пределах одного Стандартного отклонения (Standard Deviation), 95,45% – в пределах двух, а 99,73 – в пределах трех стандартных отклонений от среднего»:

Это правило позволяет нам идентифицировать Выбросы (Outlier) и очень полезно при Проверке на нормальность (Normality Test).

специалист
Мнение эксперта
Витальева Анжела, консультант по работе с офисными программами
Со всеми вопросами обращайтесь ко мне!
Задать вопрос эксперту
Преимущество его заключается в том, что тот же подход можно использовать для сравнения любого распределения, не обязательно только нормального распределения. Если же вам нужны дополнительные объяснения, обращайтесь ко мне!
Если копнуть глубже, то нормальное распределение можно найти в распределении многих показателях в системах связи (сигналы, шумы, помехи и другие), под нормальное распределение подгоняют многие финансовые показатели. Хотя следует подчеркнуть, что именно подгоняют, поскольку признаки нормальности в этих случаях часто бывают смещены.
Графическое представление показательного распределения

Проверка гипотезы о нормальном распределении по критерию Пирсона. Подробный пример решения

Стандартное отклонение (σ), может принимать значения от нуля до плюс бесконечности. При увеличении стандартного отклонения график плотности нормального распределения становится более растянутым вдоль оси Ox, а при уменьшении — наоборот, сжимается. Это показано на графике снизу.

Проверка гипотезы о нормальном распределении

критерий согласия Пирсона

Критерий согласия Пирсона:

Группы xi Кол-во, fi xi * fi Накопленная частота, S |x — xср|*f (x — xср) 2 *f Частота, fi/n
43 — 45.83 44.42 1 44.42 1 8.88 78.91 0.0278
45.83 — 48.66 47.25 1 47.25 2 6.05 36.64 0.0278
48.66 — 51.49 50.08 6 300.45 8 19.34 62.33 0.17
51.49 — 54.32 52.91 18 952.29 26 7.07 2.78 0.5
54.32 — 57.15 55.74 4 222.94 30 9.75 23.75 0.11
57.15 — 59.98 58.57 6 351.39 36 31.6 166.44 0.17
36 1918.73 82.7 370.86 1
Интервалы группировки Наблюдаемая частота ni x1 = (xi— x )/s x2 = (xi+1— x )/s Ф(x1) Ф(x2) Вероятность попадания в i-й интервал, pi = Ф(x2) — Ф(x1) Ожидаемая частота, 36pi Слагаемые статистики Пирсона, Ki
43 — 45.83 1 -3.16 -2.29 -0.5 -0.49 0.01 0.36 1.14
45.83 — 48.66 1 -2.29 -1.42 -0.49 -0.42 0.0657 2.37 0.79
48.66 — 51.49 6 -1.42 -0.56 -0.42 -0.21 0.21 7.61 0.34
51.49 — 54.32 18 -0.56 0.31 -0.21 0.13 0.34 12.16 2.8
54.32 — 57.15 4 0.31 1.18 0.13 0.38 0.26 9.27 3
57.15 — 59.98 6 1.18 2.06 0.38 0.48 0.0973 3.5 1.78
36 9.84

Пример №2 . Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200.

Решение находим с помощью калькулятора.
Таблица для расчета показателей.

xi Кол-во, fi xi·fi Накопленная частота, S (x- x )·f (x- x ) 2 ·f (x- x ) 3 ·f Частота, fi/n
5 15 75 15 114.45 873.25 -6662.92 0.075
7 26 182 41 146.38 824.12 -4639.79 0.13
9 25 225 66 90.75 329.42 -1195.8 0.13
11 30 330 96 48.9 79.71 -129.92 0.15
13 26 338 122 9.62 3.56 1.32 0.13
15 21 315 143 49.77 117.95 279.55 0.11
17 24 408 167 104.88 458.33 2002.88 0.12
19 20 380 187 127.4 811.54 5169.5 0.1
21 13 273 200 108.81 910.74 7622.89 0.065
200 2526 800.96 4408.62 2447.7 1

Пример 2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200.
Решение.
Таблица для расчета показателей.

специалист
Мнение эксперта
Витальева Анжела, консультант по работе с офисными программами
Со всеми вопросами обращайтесь ко мне!
Задать вопрос эксперту
Естественно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Если же вам нужны дополнительные объяснения, обращайтесь ко мне!
Имеется несколько критериев согласия. Наиболее часто используется критерий согласия К.Пирсона («хи-квадрат»). Здесь мы ограничимся применением критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Проверка гипотезы о виде распределения онлайн

Если наблюдаемые данные полностью соответствуют нормальному распределению, значение статистики KS будет равно 0. Значение P используется, чтобы решить, достаточно ли велика разница, чтобы отклонить нулевую гипотезу:

Группы xi Кол-во, fi xi * fi Накопленная частота, S |x — xср|*f (x — xср) 2 *f Частота, fi/n
43 — 45.83 44.42 1 44.42 1 8.88 78.91 0.0278
45.83 — 48.66 47.25 1 47.25 2 6.05 36.64 0.0278
48.66 — 51.49 50.08 6 300.45 8 19.34 62.33 0.17
51.49 — 54.32 52.91 18 952.29 26 7.07 2.78 0.5
54.32 — 57.15 55.74 4 222.94 30 9.75 23.75 0.11
57.15 — 59.98 58.57 6 351.39 36 31.6 166.44 0.17
36 1918.73 82.7 370.86 1
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector