Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных распределений с известными дисперсиями

Иногда оказывается, что средний результат из основной серии опытов отличается от среднего результата другой серии опытов. Необходимо определить случайно или нет, это различие т.е. можно ли считать, что результат эксперимента представляет собой выборка из двух независимых генеральных совокупностей с одинаковыми средними, или средние этих совокупностей не равны.

Формальная постановка этой задачи выглядит следующим образом – изучаются две случайные величины, распределённые по нормальному закону:

Предполагается, что дисперсии и известны, а математические ожидания не известны.

Выдвигаем следующую гипотезу, что m_x=m_y. На основании наблюдений необходимо подтвердить или опровергнуть эту гипотезу. Если подтвердится нулевая гипотеза, то можно говорить о том, что различия между средними величинами в двух выборках статистически незначимо, т.е. объясняется как случайная ошибка.

Для проверки этой гипотезы используется z-тест. Для этого рассчитывается

z-критерий (z-статистика), который определяется следующим образом:

— среднее арифметическое значение из серии n наблюдений.

z-критерий распределён нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Нулевая гипотеза о том, что средние значения равны: H₀: =

Альтернативная гипотеза о том, что средние значения не равны, выглядит следующим образом: H₁: ≠ .

При альтернативной гипотезе возможны варианты: либо . Соответственно мы должны применить двусторонний критерий. Таким образом существуют две критические точки: и .

По значению определяем левую и правую критические точки.

где F(z) – интегральная функция распределения случайной величины Z, а F -1 (…) – обратная функция.

Значения критических точек можно найти через функцию: =НОРМСТОБР, указав в диалоговом окне значение вероятности ( ) — для нахождения значения ,или же значение (1 — ) – для нахождения значения ).

Величина Z, распределённая нормально с параметрами Z=N(0;1), распределена симметрично:

=0,05

Геометрическая интерпретация: вероятность попадания в области отклонения гипотезы равна сумме заштрихованных площадей.

3. Определяем критические точки, исходя из условий (1) и (2).

4. Сравниваем рассчитанное в п.1 значение Z со значением критических точек:

В пакете EXCEL существует инструмент анализа, который называется «двухвыборочный Z-тест для средних» (Сервис – анализ данных – двухвыборочный Z-тест для средних). Он служит для проверки гипотезы о различии между средними (математическими ожиданиями) двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

Когда вызывается этот инструмент, то появляется диалоговое окно, в котором задаются следующие параметры:

* Интервал переменной 1: вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений случайной величины Х.

* Интервал переменной 2: вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений случайной величины У.

* Гипотетическая средняя разность: вводится число, предполагаемой разности между средними для изучаемой генеральной последовательности. Для проверки гипотезы о равенстве средних необходимо ввести значение ноль.

* Дисперсия переменной 1 (известная): вводится известное значение дисперсии случайной величины Х.

* Дисперсия переменной 2 (известная): вводится известное значение дисперсии случайной величины У.

* Метки: если активируем, то первая строка воспринимается как заголовок и не считается.

* Альфа: задаётся уровень значимости , равный вероятности совершить ошибку первого рода.

Известны выборочные данные о диаметре валиков в миллиметрах, изготовляемых автоматом 1 и 2.

Автомат 1	182,3	183,0	181,8	181,4	181,8	181,6	183,2	182,4	182,5	179,7	179,9	181,9	182,8	183,4
Автомат 2	185,3	185,6	184,8	186,2	185,8	184,0	184,2	185,2	184,2

1.Используя двухвыборочный Z-тест для средних проверить для вашего варианта гипотезу о равенстве средних значений.

2.Проверить эту же гипотезу, используя расчётные формулы.

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2022 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.022 с) .

Каким из непараметрических критериев пользоваться? Как известно [3], для выбора одного из нескольких критериев необходимо сравнить их мощности, определяемые видом альтернативных гипотез. Сравнению мощностей критериев посвящена обширная литература.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ — МегаЛекции

ПРИМЕР 3. имеются данные о количестве продаж товара в двух городах. Проверить на уровне значимости 0,01 статистическую гипотезу о том, что среднее число продаж товара в городах различно.

Автомат 1	182,3	183,0	181,8	181,4	181,8	181,6	183,2	182,4	182,5	179,7	179,9	181,9	182,8	183,4
Автомат 2	185,3	185,6	184,8	186,2	185,8	184,0	184,2	185,2	184,2

Оценка взаимосвязи прибыли и затрат по функции ФИШЕР

Пример 1. Используя данные об активности коммерческих организаций, требуется сделать оценку связи прибыли Y (млн руб.) и затрат X (млн руб.), используемых для разработки продукции (приведены в таблице 1).

№	X	Y
1	210 000 000,00 ₽	95 000 000,00 ₽
2	1 068 000 000,00 ₽	76 000 000,00 ₽
3	1 005 000 000,00 ₽	78 000 000,00 ₽
4	610 000 000,00 ₽	89 000 000,00 ₽
5	768 000 000,00 ₽	77 000 000,00 ₽
6	799 000 000,00 ₽	85 000 000,00 ₽

Схема решения таких задач выглядит следующим образом:

1. Рассчитывается линейный коэффициент корреляции r_xy;
2. Проверяется значимость линейного коэффициента корреляции на основе t-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется гипотеза о равенстве коэффициента корреляции нулю. При проверке этой гипотезы используется t-статистика. Если гипотеза подтверждается, t-статистика имеет распределение Стьюдента. Если расчетное значение t_р > t_кр, то гипотеза отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической существенности зависимости между Х и Y;
3. Определяется интервальная оценка для статистически значимого линейного коэффициента корреляции.
4. Определяется интервальная оценка для линейного коэффициента корреляции на основе обратного z-преобразования Фишера;
5. Рассчитывается стандартная ошибка линейного коэффициента корреляции.

Результаты решения данной задачи с применяемыми функциями в пакете Excel приведены на рисунке 1.

Таким образом, с вероятностью 0,95 линейный коэффициент корреляции заключен в интервале от (–0,386) до (–0,990) со стандартной ошибкой 0,205.

Пример1. Средний балл по факультету 2008 г. без учёта рейтинга равнялся 8 баллам (константа). Проверить гипотезу о том, что введение рейтинга повлияло на успеваемость студентов. Средний балл с учётом рейтинга – 7,87 балла.

Проверка статистической значимости регрессии по функции FРАСПОБР

• не является числом. В такой ситуации функция ФИШЕР осуществит возвращение значения ошибки #ЗНАЧ!;
• имеет значение либо меньше -1, либо больше 1. В данном случае функция ФИШЕР возвратит значение ошибки #ЧИСЛО!.

В некоторых случаях целесообразно проверять не совпадение функций распределения, а совпадение некоторых характеристик случайных величин Х и Y — математических ожиданий, медиан, дисперсий, коэффициентов вариации и др. Например, однородность математических ожиданий означает, что справедлива гипотеза