Формула Эйлера и приближенные методы

Илья Бирман в заметке о числах π и e написал об их связи со мнимой единицей:

Замечание о небольшой книге верно. Но я собираюсь в одной заметке рассказать, почему , без привлечения пределов и рядов. Сначала я остановлюсь на приближенном выражении для экспоненты, а также напомню, как обращаться с комплексными числами.

В отличие от сложения и умножения, правило возведения в комплексную степень , или хотя бы во мнимую степень x bi , нельзя получить, обобщив обычное правило возведения в действительную степень. Например, 2 i — это результат умножения числа 2 самого на себя «i раз». Непонятно, правда?

Формула Эйлера и приближенные методы — Сайт Романа Парпалака

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, очень удобно умножать и делить.

Получается, что при умножении комплексных чисел мы просто умножаем их модули, а аргументы складываем. При делении — делим модули и вычитаем аргументы. И всё!

Найти произведение и частное двух комплексных чисел:

По сравнению со стандартной (алгебраической) формой записи комплексных чисел экономия сил и времени налицо.:)

Умножение на +1 можно представить как вращение на 0˚ или 360˚ относительно начала координат, поскольку в любом случае вы вернетесь туда, откуда начали.

Комплексные числа в алгебраической форме – MathHelpPlanet

• На положительной полуоси абсцисс $\varphi =0$ (фиолетовая точка $A$).
• На отрицательной — $\varphi =\pi $ (синяя точка $B$).
• На положительной полуоси ординат $\varphi =\frac$ (зелёная точка $B$).
• На отрицательной — $\varphi =\frac$ (красная точка $C$). Однако ничто не мешает рассмотреть $\varphi =-\frac$ — результат будет тем же самым.:)

После перехода от декартовых координат к полярным через последние можно выразить действительную и мнимую часть комплексного числа , которые являются катетами в треугольнике с гипотенузой r и углом α:

Как умножить столбец чисел на постоянное число

Что касается умножения чисел в столбце, на это способен Excel. Как и следовало ожидать, задача очень похожа на умножение чисел в двух ячейках. Вам просто нужно внести изменения, основанные на здравом смысле. Однако с точки зрения умножения на постоянное число формула сильно отличается.

Во-первых, вы должны добавить предпочтительный набор чисел в столбец. Вы можете решить, какой длины вы хотите, чтобы это было. Судя по изображению, наши номера варьируются от A1 до A8.

Теперь вам нужно выбрать ячейку для размещения постоянного числа. В этой демонстрации мы решили использовать C1, поэтому щелкните внутри и введите предпочтительный постоянный номер.

Затем вы должны выбрать ячейку, в которой будут отображаться результаты. Мы решили работать с B1, так что вы тоже можете это сделать. Оттуда добавьте следующую формулу:

Нажмите клавишу Enter на клавиатуре, и сразу же появятся результаты. Вы можете выполнить расчеты самостоятельно, чтобы убедиться, что Excel в порядке.

Читайте: Как создать измерительную диаграмму в Excel.

И это так, мы можем решить это с помощью алгебры. На самом деле, это самый эффективный способ решения задачи (хотя ему не хватает понимания, которое вы получаете от построения графиков). Поэтому мы предложили вашему вниманию оба пути решения.

Комплексные числа: сложение, вычитание, умножение и деление

По сути, мы можем выбрать любую комбинацию вещественной и мнимой части и сделать из всего этого треугольник. Угол становится «углом вращения». Комплексное число — это заумное название для чисел, в которых есть вещественная и мнимая части. Они пишутся, как «a + bi», где:

Разностью чисел и называется число . Обозначение: . Используя правило сложения, получаем для нахождения разности равенства .

Правило вычитания. При нахождении разности из действительной и мнимой частей уменьшаемого вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого:

Произведением чисел и называется число такое, что выполняются равенства . Обозначение: .

Нетрудно убедиться, что эти равенства имеют место, если произвести формальное перемножение выражений и , как двучленов:

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что Пример 1.5. Найти произведение комплексных чисел и .

Пример 1.6. Найти сумму и произведение пары комплексных сопряженных чисел

Результат решения примера можно сформулировать как свойство: сумма и произведение сопряженных комплексных чисел — числа действительные.

Теперь можно сформулировать правило умножения в терминах длины вектора и его направления (оно выведено в дополнении к заметке). Длина вектора произведения равна произведению длин векторов сомножителей, а аргумент (угол между вектором и осью абсцисс) равен сумме аргументов. Я изобразил это правило на рисунке. Здесь синий вектор равен произведению зеленого и красного.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Комплексные числа)

В физике постоянно используются приближенные методы, особенно разложение в ряд Тейлора до первого (изредка до второго) слагаемого. Дело в том, что аналитическое решение в виде формулы можно получить разве что в простейших задачах. Численно, на компьютере, тоже не всякая задача решается. Поэтому часто в ходе преобразований приходится что-нибудь раскладывать и чем-нибудь пренебрегать.