Линейная интерполяция

С учетом двух красных точек синяя линия представляет собой линейный интерполянт между точками, а значение y в точке x может быть найдено с помощью линейной интерполяции.

В математике линейная интерполяция — это метод подбора кривой с использованием линейных полиномов для построения новых точек данных в диапазоне дискретного набора известных точек данных.

Теперь вы знаете, как написать формулу двойной интерполяции в Excel корректно или найти неизвестное значение линейной функции посредством встроенных операторов или графика. Надеемся, что эта информация поможет вам в решении множества практических задач.

Формула интерполяции в excel — IT и мир ПК

В классической постановке интерполяционной задачи требуется найти приближенную аналитическую функцию φ(X), у которой значения в узловых точках X_i совпадают со значениями Y(X_i) исходной таблицы, т. е. соблюдается условие φ (X_i)=Y_i (i = 0,1,2. n).

Использование экстраполяции

В отличие от интерполяции, задачей которой является нахождения значения функции между двумя известными аргументами, экстраполяция подразумевает поиск решения за пределами известной области. Именно поэтому данный метод столь востребован для прогнозирования.

В Экселе можно применять экстраполяцию, как для табличных значений, так и для графиков.

Способ 1: экстраполяция для табличных данных

Прежде всего, применим метод экстраполяции к содержимому табличного диапазона. Для примера возьмем таблицу, в которой имеется ряд аргументов (X) от 5 до 50 и ряд соответствующих им значений функции (f(x)). Нам нужно найти значение функции для аргумента 55, который находится за пределом указанного массива данных. Для этих целей используем функцию ПРЕДСКАЗ.

Выделяем ячейку, в которой будет отображаться результат проведенных вычислений. Кликаем по значку «Вставить функцию», который размещен у строки формул.

Мы перемещаемся к окну аргументов вышеуказанной функции. Она имеет всего три аргумента и соответствующее количество полей для их внесения.

В поле «Известные значения y» следует указать весь имеющийся у нас диапазон значений функции. Он отображается в колонке «f(x)». Следовательно, устанавливаем курсор в соответствующее поле и выделяем всю эту колонку без её наименования.

В поле «Известные значения x» следует указать все значения аргумента, которым соответствуют внесенные нами выше значения функции. Эти данные находятся в столбце «x». Точно так же, как и в предыдущий раз выделяем нужную нам колонку, предварительно установив курсор в поле окна аргументов.

После того, как все данные внесены, жмем на кнопку «OK».

Способ 2: экстраполяция для графика

Выполнить процедуру экстраполяции для графика можно путем построения линии тренда.

Далее нам нужно поменять деления горизонтальной шкалы, так как в ней отображаются не значения аргументов, как нам того нужно. Для этого, кликаем правой кнопкой мыши по диаграмме и в появившемся списке останавливаемся на значении «Выбрать данные».

В запустившемся окне выбора источника данных кликаем по кнопке «Изменить» в блоке редактирования подписи горизонтальной оси.

Открывается окно установки подписи оси. Ставим курсор в поле данного окна, а затем выделяем все данные столбца «X» без его наименования. Затем жмем на кнопку «OK».

После возврата к окну выбора источника данных повторяем ту же процедуру, то есть, жмем на кнопку «OK».

Теперь наш график подготовлен и можно, непосредственно, приступать к построению линии тренда. Кликаем по графику, после чего на ленте активируется дополнительный набор вкладок – «Работа с диаграммами». Перемещаемся во вкладку «Макет» и жмем на кнопку «Линия тренда» в блоке «Анализ». Кликаем по пункту «Линейное приближение» или «Экспоненциальное приближение».

Линия тренда добавлена, но она полностью находится под линией самого графика, так как мы не указали значение аргумента, к которому она должна стремиться. Чтобы это сделать опять последовательно кликаем по кнопке «Линия тренда», но теперь выбираем пункт «Дополнительные параметры линии тренда».

Итак, мы рассмотрели простейшие примеры экстраполяции для таблиц и для графиков. В первом случае используется функция ПРЕДСКАЗ, а во втором – линия тренда. Но на основе этих примеров можно решать и гораздо более сложные задачи прогнозирования.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче. Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды.

Аппроксимация в Excel: 5 простых способов — Ваша компьютерная помощь

• выделяют любую пустую ячейку на листе табличного процессора, куда будет выводиться результат от осуществленных действий, например C1;
• кликают по значку «fx» («Вставить функцию»), размещенному слева от строки формул;
• в окошке «Мастера функций» заходят в категорию «Математические»;
• находят оператор «ПРЕДСКАЗ» и нажимают на «OK».

Как известно, квадратичная зависимость y=b +b ₁ x+b ₂ x 2 , подробно рассмотренная в статье МНК: Квадратичная зависимость в MS EXCEL , является частным случаем полиномиальной y=b +b ₁ x+b ₂ x 2 +b ₃ x 3 +… зависимости (в этом случае степень полинома равна 2). Соответственно, используя тот же подход (приравнивание к 0 частных производных), можно вычислить коэффициенты любого полинома.

Кусочно-линейная интерполяция

В результате кусочно-линейная приближающая функция на отрезке [x_i–1, x_i] имеет вид

и является непрерывной, однако её первая производная оказывается кусочно-непрерывной функцией, которая в каждом узле интерполяции имеет точку разрыва первого рода. Это часто накладывает существенные ограничения на её дальнейшее использование.

Рассмотрим работу метода на примере кусочно-линейной интерполяции таблично заданной функ­ции и поиска её значения при аргументе х = 1.6.

Для решения этой задачи строятся линейные функции для каждого отрезка между узловыми точками таблицы:

Таким образом, табличная функция в случае кусочно-линейной интерполяции представляется в виде функции

Значение интерполирующей функции в заданной точке x = 1.6, принадле­жа­щей отрезку [1, 2] будет

Ниже на рис.3 представлен фрагмент рабочей книги Excel с реализацией метода кусочно-линейной интерполяции. При построении графика приближающей функции аргумент х изменяется с шагом 0.2, а значения функции вычисляются по общей формуле, адаптированной под конкретные значения диапазонов аргумента.

Как видно из рисунка для аргумента x = 1.6 расчёты, проведенные программой Excel, дали значение 0.8.

Представляет собой случай полиномиального представления приближающей функции, когда она ищется в виде линейной комбинации базисных функций j_k(x), которые должны быть определены для всего отрезка интерполяции [x₁, x_n], линейно независимы, и их количество должно быть равно числу узлов таблично заданной функции

Коэффициенты a₁, a₂, . a_n определяются исходя из условий равенства значений приближающей и исходной функций при табличных значениях аргумента, что сводит задачу к системе n линейных алгебраических уравнений относительно них, а в качестве функций j_k(x) используются полиномы (n–1) степени

которые для пяти узловых точек записываются в виде

Для каждого полинома характерно то, что для всех значений x_i в узловых точках он принимает нулевые значения, кроме k-ой, где его значение равно единице.

Графики этих полиномов пред­ставлены на рис.4. При таком выборе базисных функций коэффициенты приближающей функции оказываются ординатами таблично заданной функции, а сама она приобретает харак-

Процесс построения интерполирующего многочлена Лагранжа для пяти узловых точек показан на рис.5.

Рассмотрим работу метода на приведенном выше примере. Сначала строятся четыре базовых полинома:

Они позволяют записать интерполирующий многочлен Лагранжа в виде

Ниже на рис.6 представлен фрагмент рабочей книги Excel с реализацией интерполяции с помощью многочлена Лагранжа.

Как видно из рисунка для аргумента x = 1.6 многочлен Лагранжа дал значение 0.528.

Для контроля правильности вычислений многочлена Лагранжа полезно строить графики базовых полиномов. Для рассматриваемого примера они приведены на рис.7.

Через множество узловых точек таблично заданной функции можно провести бесконечное количество аппроксимирующих кривых. Задача выбора единственной из них определяется двумя основными моментами:

— выбор аналитических зависимостей, отражающих физику взаимосвязи аргумента и реальной функции, когда должен быть определен общий вид приближающей функции;

— выбор критерия достоверности описания реальной функции с помощью выбранных зависимостей.

Функции φ_k(x) часто выбираются в виде полиномов, частным случаем которых являются степенные функции

φ₁(x) = 1, φ₂(x) = x, φ₃(x) = x 2 , φ₄(x) = x 3 ,…,

Другим подходом к построению приближающей функции является её представление сплайнами. Это избавляет исследователя от необходимости подбирать аналитические функции для аппроксимирующей зависимости и часто даёт результат, отвечающий всем требованиям, которые предъявляются к процессу аппроксимации.

В качестве критерия достоверности описания реальной функции Гауссом (1794) и Лежандром (A.M.Legendre, 1805) было предложено использовать сумму квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от ординат узлов таблично заданной

,

где отклонение от каждой узловой точки Δ_i, показанное на рис.2, вычисляется как

Необходимым условием экстремума квадратичной функции многих переменных F является равенство нулю всех её частных производных по параметрам c₁, c₂, . c_m

Работа метода может быть проиллюстрирована на примере аппроксимации функции, заданной 8-ю узловыми точками, показанными на рис.3, и поиска её значения при х = 1.5.

Необходимо заметить, что данное представление аппроксимирующей зависимости не является единственным. Можно подобрать и другие комбинации элементарных функций, которые отражают общий характер рассматриваемой табличной функции.

В соответствии с приведённым выше алгоритмом сумма F квадратов отклонений аппроксимирующей функции от узловых точек записывается в виде

Вычисления по этой формуле удобнее выполнять, сняв с графика координаты узловых точек и сформировав из них следующую таблицу

i
x	0.5	0.5	1.5	1.5	2.5	3.5
y	0.9	0.8	0.5	0.5	0.4	0.4	0.5	0.5

а её частные производные по параметрам c₁ и c₂, соответственно

Исходя из условия равенства нулю полученных частных производных, решение задачи сводится к решению системы из двух линейных алгебраических уравнений

Эта система имеет следующее решение c₁= 0.1047, c₂= 0.4013. Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид

Её значения при табличных значения аргумента приведены ниже

x	0.5	1.5	2.5	3.5
y	0.8550	0.5060	0.4246	0.4223	0.4811	0.5191

С их помощью может быть вычислено значение целевой функции F

где норма таблично заданной функции была вычислена следующим образом

Система линейных алгебраических уравнений решается с использованием встроенной функции Excel’а построения обратной матрицы системы.

В классической постановке интерполяционной задачи требуется найти приближенную аналитическую функцию φ(X), у которой значения в узловых точках X_i совпадают со значениями Y(X_i) исходной таблицы, т. е. соблюдается условие φ (X_i)=Y_i (i = 0,1,2. n).

Excel: как построить степенной полином функцией ЛИНЕЙН

Мы видим кроме самой линии уравнение этой линии и, главное, мы видим значение параметра R 2 – величины достоверности аппроксимации! Чем ближе его значение к 1, тем наиболее точно выбранная функция аппроксимирует табличные данные!

i
x	0.5	0.5	1.5	1.5	2.5	3.5
y	0.9	0.8	0.5	0.5	0.4	0.4	0.5	0.5

Формула интерполяции в excel

= Мир MS Excel/интерполяция в эксель — Мир MS Excel

Можно ли это автоматизировать как нибудь? Автор — ronik710
Дата добавления — 21.10.2010 в 15:53

«nilem», а зачем макрос надо было писать? Что бы подтвердить работоспособность функции?

«nilem», а зачем макрос надо было писать? Что бы подтвердить работоспособность функции? ronik710

«nilem», а зачем макрос надо было писать? Что бы подтвердить работоспособность функции? Автор — ronik710
Дата добавления — 24.10.2010 в 11:14

Перепутанное переделал и переложил Автор — _Boroda_
Дата добавления — 26.10.2010 в 15:05

Ребята помогите пожалуйста.
В идеале мне надо интерполирование, при внесении в колонку TRIM дробных
чисел с одним числом после запятой, и при внесении в колонку SOUNDING
дробных чисел с одним числом после запятой.

В колонку TRIM вносятся отрицательные числа, от минус четырёх (-4) до нуля (0)
При внесении значения -3.4 интерполяция должна происходить между
колонками B — TRIM=-4 и C — TRIM=-3 следующего листа.

Ребята помогите пожалуйста.
В идеале мне надо интерполирование, при внесении в колонку TRIM дробных
чисел с одним числом после запятой, и при внесении в колонку SOUNDING
дробных чисел с одним числом после запятой.

В колонку TRIM вносятся отрицательные числа, от минус четырёх (-4) до нуля (0)
При внесении значения -3.4 интерполяция должна происходить между
колонками B — TRIM=-4 и C — TRIM=-3 следующего листа. lemvasyl

Сообщение Ребята помогите пожалуйста.
В идеале мне надо интерполирование, при внесении в колонку TRIM дробных
чисел с одним числом после запятой, и при внесении в колонку SOUNDING
дробных чисел с одним числом после запятой.

В колонку TRIM вносятся отрицательные числа, от минус четырёх (-4) до нуля (0)
При внесении значения -3.4 интерполяция должна происходить между
колонками B — TRIM=-4 и C — TRIM=-3 следующего листа. Автор — lemvasyl
Дата добавления — 21.01.2012 в 04:50

8. Удаляем все линии тренда с поля диаграммы, кроме логарифмической функции. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши по ненужным линиям и в выпавшем контекстном меню выбираем «Очистить».

Кусочно-линейная интерполяция — МегаЛекции

• выделяют в таблице ячейку, в которой отсутствует значение функции;
• выбирают значок «Вставить функцию»;
• в «Мастере функций» в окошке «Категории» находят строку «Полный алфавитный перечень» (в некоторых версиях процессора «Проверка свойств и значений»);
• нажимают на запись «НД» и жмут на кнопку «OK».

Примечание : В инструменте MS EXCEL Линия тренда , который доступен для диаграмм типа Точечная и График , можно построить линию тренда на основе полинома с максимальной степенью 6. В файле примера продемонстрировано полное совпадение линии тренда диаграммы и линии, вычисленной с помощью формул.

Что такое аппроксимация в Excel?

Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче. Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды.

Как посчитать аппроксимацию в Excel?

1. Создайте диаграмму (график).
2. Выделите линию функции на графике и нажмите правую кнопку мыши, выберите «Добавить линию тренда»
3. Выберите тип аппроксимации во вкладке «Тип» в откурывшемся диалоговом окне «Линия тренда»
4. На вкладке «Параметры» — прогностические параметры, показывать уравнение на графике или нет

Как называется в Excel график линейной аппроксимации?

Линия тренда в Excel – это график аппроксимирующей функции. Для чего он нужен – для составления прогнозов на основе статистических данных. С этой целью необходимо продлить линию и определить ее значения. Если R2 = 1, то ошибка аппроксимации равняется нулю.

Где находится линия тренда в Excel?

Щелкните правой кнопкой мыши по ряду данных и в контекстном меню нажмите Добавить линию тренда (Add Trendline). Перейдите на вкладку Параметры линии тренда (Trend/Regression Type) и выберите Линейная (Linear).

Как экстраполировать данные в Excel?

Выполнить процедуру экстраполяции для графика можно путем построения линии тренда. Прежде всего, строим сам график. Для этого курсором при зажатой левой кнопке мыши выделяем всю область таблицы, включая аргументы и соответствующие значения функции. Затем, переместившись во вкладку «Вставка», кликаем по кнопке «График».

Как использовать функцию Линейн в Excel?

Как построить полином в Excel?

Полином — это степенная функция y=ax2+bx+c (полином второй степени) и y=ax3+bx2+cx+d (полином третей степени) и т.
…
Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

Как сделать аппроксимацию?

Чтобы приступить к аппроксимации кривой ваших экспериментальных данных в Excel 2003:

1. Создайте диаграмму (график).
2. Выделите линию функции на графике и нажмите правую кнопку мыши, выберите «Добавить линию тренда»
3. Выберите тип аппроксимации во вкладке «Тип» в откурывшемся диалоговом окне «Линия тренда»

Как сделать уравнение по графику в Excel?

Кликаете правой кнопкой мыши на линии тренда, выбираете «Формат линии тренда». В открывшемся окне ставите галочку «Показывать уравнение на диаграмме».

Как в Excel сделать прогноз?

Выделите оба ряда данных. Совет: Если выделить ячейку в одном из рядов, Excel автоматически выделит остальные данные. На вкладке Данные в группе Прогноз нажмите кнопку Лист прогноза. В окне Создание прогноза выберите график или гограмму для визуального представления прогноза.

Что показывает уравнение линии тренда?

Уравнение Trendline — это формула, которая находит линию, которая наилучшим образом соответствует точкам данных. Значение R-squared измеряет надежность трендовой линии : чем ближе R2 к 1, тем лучше линия тренда соответствует данным.

Для чего служит линия тренда?

Линии тренда — элемент аппарата технического анализа, используемый для выявления тенденций изменения цен на различных видах бирж. Линии тренда представляют собой геометрическое отображение средних значений анализируемых показателей, полученное с помощью какой-либо математической функции.

Как считается линия тренда?

Уравнение линейного тренда y=ax+b, где y — это объёмы продаж, а x — месяцы.

Как рассчитать прогноз?

Рассчитать прогноз по методу скользящей средней очень просто. Для этого берём среднее значение, например, средние продажи за последние 3 месяца и умножаем на коэффициент сезонности к 3-м месяцам — и прогноз на месяц готов.

Как сделать интерполяцию функции в Excel?

Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«График»-«График с маркерами». Чтобы устранить обрывы на графике, то есть выполнить интерполяцию в Excel, можем использовать 2 решения для данной задачи: Изменить параметры в настройках графика выбрав соответствующую опцию.

Что такое метод экстраполяции?

Экстраполяция — это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. Методы экстраполяции наиболее распространенные в группе формализованных.

3. «Наводим» мышь на любую из точек на графике и щелчком правой кнопки вызываем контекстное меню (как говорит один мой хороший товарищ — работая в незнакомой программе, когда не знаешь, что делать, чаще щелкай правой кнопкой мыши…). В выпавшем меню выбираем «Добавить линию тренда…».

Экстраполяция в excel как сделать

8. Удаляем все линии тренда с поля диаграммы, кроме логарифмической функции. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши по ненужным линиям и в выпавшем контекстном меню выбираем «Очистить».