Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
В предыдущем разделе было рассмотрено разложение периодических сигналов в ряд Фурье. Были приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также введено понятие спектра периодического сигнала.
Показано, что спектр периодического сигнала представляет собой дискретную (линейчатую) функцию , определенную на равноотстоящей сетке частот ,
В данном разделе мы рассмотрим некоторые свойства спектров периодических сигналов. Как мы увидим позже, аналогичными свойствами обладают преобразование Фурье непериодических сигналов, а также дискретное преобразование Фурье.
Пусть имеются два периодических сигнала и с равными периодами повторения , причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле [1, стр. 165]. Сигналы и могут быть представлены рядом Фурье с коэффициентами разложения и , где ,
Везде далее в этом разделе мы будем считать сигналы и периодическими с равными периодами повторения , причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле. Тогда сигнал также является периодическим сигналом с периодом , и может быть представлен рядом Фурье с коэффициентами:
Таким образом, спектр суммы периодических сигналов равен сумме их спектров. Следствием свойства линейности является свойство умножения на константу. Спектр сигнала , , равен:
Рассмотрим сигнал как результат циклического временного сдвига исходного сигнала , как это показано на рисунке 1 для положительных и отрицательных значений .
Циклический сдвиг характерен периодическим сигналам. Спектр сигнала с циклическим временным сдвигом равен:
Таким образом, циклический временной сдвиг периодического сигнала на величину приводит к умножению спектра на фазовый множитель . При этом амплитудный спектр не меняется, а фазовый спектр приобретает дополнительное линейное слагаемое.
Пусть сигнал представляет собой циклическую (периодическую) свертку [2, стр. 362] сигналов и
Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки сигналов в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов, произведением их спектров.
Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и . Сигнал также представляет собой периодический сигнал с периодом , и его спектр равен:
Пусть представляет собой вещественный периодический сигнал. Рассмотрим подробнее его спектр:
Анализируя выражения (14) и (15), можно обратить внимание, что амплитудный спектр вещественного периодического сигнала всегда симметричен относительно нулевой частоты, т.е. , а фазовый спектр — антисимметричен.
Если же периодический сигнал — комплексный, то симметрия спектра сигнала нарушается, что будет показано в следующем параграфе.
Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и комплексной экспоненты с частотой , где — произвольное целое число. Выбор частоты обеспечивает периодичность сигнала , поскольку на одном периоде укладывается целое число оборотов комплексной экспоненты .
Таким образом, сигнал удовлетворяет условиям Дирихле, и его спектр равен:
Умножение сигнала на комплексную экспоненту переносит спектр сигнала на частоту . При этом сигнал становится комплексным, а его спектр — несимметричным относительно нулевой частоты.
На рисунке 2 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении на комплексную экспоненту при рад/c.
Можно видеть, что спектр смещенного по частоте сигнала есть смещенная на частоту копия спектра .
При этом важно отметить, что сам сигнал стал комплексным (на графике показана отдельно реальная и мнимая части сигнала), его амплитудный спектр при этом перестал быть симметричным, а фазовый — антисимметричным относительно нулевой частоты.
Рассмотрим теперь умножение сигнала не на комплексную экспоненту, а на гармоническое колебание , где , — произвольное целое число, — произвольная начальная фаза.
В этом случае мы также сохраняем периодичность сигнала , и его спектр равен:
Таким образом, умножение сигнала на гармоническое колебание приводит к смещению спектра на частоты как в положительную, так и в отрицательную области частот, уменьшению амплитуды в положительной и отрицательной областях в два раза и добавлению фазового множителя .
На рисунке 3 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении на при рад/c (5 Гц), и рад.
Рисунок 3. Пример частотного сдвига периодической последовательности прямоугольных импульсов
при умножении на
Из рисунка 3 можно видеть, что спектр смещенного по частоте сигнала есть сумма смещенных на частоты спектров половинной амплитуды. При этом заметим, что вещественный сигнал остается вещественным с симметричным амплитудным и антисимметричным фазовым спектром.
Пусть имеется периодический сигнал , который представляет собой изменяющееся во времени значение тока или напряжения. Рассмотрим среднюю мощность выделяемую на сопротивлении 1 Ом сигналом :
Подставим в (19) вместо выражение ряда Фурье в комплексной форме:
Приравнивая (19) и (21), получаем равенство Парсеваля [3, стр. 39], связывающее среднюю мощность периодического сигнала во временной и частотной областях:
Из (22) следует, что средняя мощность, выделяемая на сопротивлении 1 Ом за один период повторения сигнала равна сумме квадратов модулей спектральных составляющих этого сигнала. При этом суммирование идет для от минус бесконечности, до бесконечности. Это означает, что компоненты с отрицательными частотами , соответствующие отрицательным , также вносят вклад в среднюю мощность сигнала.
Пусть сигнал представляет собой непрерывный дифференцируемый на всей числовой оси периодический сигнал (не имеет разрывов первого рода), чей спектр равен . Тогда сигнал также представляет собой периодический сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле и его спектр равен:
Также в силу периодичности и непрерывности сигнала , и два первых слагаемых выражения (24) взаимно исключаются.
Таким образом, спектр производной периодического сигнала равен спектру этого сигнала , умноженного на .
Наличие множителя приводит к тому, что спектр с ростом частоты затухает слабее чем спектр исходного сигнала . Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным и дифференцируемым, тогда его спектр будет затухать быстрее чем , и умножение на не приведет к росту с увеличением частоты.
\label Пусть теперь представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектр сигнала равен нулю на нулевой частоте: .
представляет собой интеграл от сигнала , причем при , также является периодическим с периодом и удовлетворяет условиям Дирихле.
Заметим, что при наличии постоянной составляющей в сигнале , интегратор от минус бесконечности накопит бесконечную составляющую сигнала . На рисунке 4 показан пример периодического сигнала с нулевой постоянной составляющей и результат его интегрирования.
Рисунок 4. Пример периодического сигнала с нулевой постоянной составляющей и результат его интегрирования
Рассмотрим спектр сигнала . Для этого заметим, что сигнал ничто иное, как производная сигнала . Тогда использую свойство спектра производной сигнала (26) можно записать:
Как построить график в Экселе? Пошаговая инструкция построения графиков и диаграмм Excel — MS Office Excel — Работа на компьютере: инструкции и советы — Образование, воспитание и обучение — Сообщество взаимопомощи учителей
Деление mixed_tone на максимальное значение масштабирует его в интервале от -1 до 1 . Умножение на 32767 масштабирует сигнал между -32767 и 32767 , что примерно соответствует диапазону np.int16 . Код отображает только первые 1000 точек, чтобы мы могли четче проследить структуру сигнала. Видимая нами синусоидальная волна – это сгенерированный тон 400 Гц, искаженный тоном 4000 Гц.
