Полином Лагранжа — Lagrange polynomial
В численном анализе , полиномы Лагранжа используются для полиномиальной интерполяции . Для данного набора точек, у которых нет двух равных значений, полином Лагранжа является полиномом самой низкой степени, который принимает для каждого значения соответствующее значение , так что функции совпадают в каждой точке. ( Икс j , у j ) , y_ )> Икс j Икс j у j
Хотя этот метод был назван в честь Жозефа-Луи Лагранжа , опубликовавшего его в 1795 году, он был впервые открыт в 1779 году Эдвардом Уорингом . Это также простое следствие формулы, опубликованной в 1783 году Леонардом Эйлером .
Интерполяция Лагранжа восприимчива к феномену больших колебаний Рунге . Поскольку изменение точек требует перерасчета всего интерполянта, часто вместо этого проще использовать полиномы Ньютона . Икс j >
Полином Лагранжа — это. Что такое Полином Лагранжа?
Икс 0 знак равно 1 ж ( Икс 0 ) знак равно 1 Икс 1 знак равно 2 ж ( Икс 1 ) знак равно 4 Икс 2 знак равно 3 ж ( Икс 2 ) знак равно 9. x_ & = 1 &&& f (x_ ) & = 1 \\ x_ & = 2 &&& f (x_ ) & = 4 \\ x_ & = 3 &&& f (x_ ) & = 9. \ end >>
Разработка программного обеспечения для интерполирования функций с помощью полиномов Лагранжа
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
В данной курсовой работе была реализовано создание класса и его дальнейшее использование в программном продукте для интерполирования функции с помощью полинома Лагранжа
1.Анализ предметной области
1.1 Интерполяция функция с помощью полиномов Лагранжа
Интерполяция, интерполирование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
· Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
· Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
· Функцию — интерполирующей функцией или интерполянтом.
Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел (x0, y0), (x1, y1),…, (xn, yn), где все xj различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xj) = yj.
В простейшем случае (n=1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.
Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:
Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация li(x), может иметь степень не больше n, и L(xi) = yi.
Найдем формулу интерполяции для f(x) = tan(x) имеющей следующие значения:
2.1 Программа для интерполирования функций с помощью полиномов Лагранжа
Краткая характеристика области применения
Данное ПО должно применятся в вычислительной математике и связанные с ней научные области. Благодаря интуитивно простому интерфейсу, данное ПО подойдет для широкого круга людей.
Технология нахождения полиномов Лагранжа реализована в пакетах Mathcad и MatLab.Однако для их нахождения нужно построить необходимые алгоритмы. Во вторых, недостатком является и необходимость наличия пакетов Mathcad или же Matlab.
Индивидуальное задание по дисциплине «Технология программирования».
Организация, утвердившая документ
Самарский Государственный Университет Путей Сообщений.
Программное обеспечение для интерполирования функций с помощью полиномов Лагранжа позволит упростить данную задачу. Потому что, все алгоритмы уже реализованы в самой программе, и не требуют от пользователя наличия громоздких пакетов типа MatLab или MathCad
3.Требование к программному продукту
3.1 Требования к функциональным характеристикам
Разрабатываемое ПО должно реализовывать нахождение полиномов по формуле Лагранжа.
· Гибкость. Наличие возможности для доработки и усовершенствования
· Программная система должна использовать визуальные требования для ввода исходных данных и вывода результатов
Требования к составу и параметрам технических средств
Для функционирования программы необходим персональный компьютер соответствующий минимальным требованиям к составу данного программного продукта:
Требования к информационной и программной совместимости
Программа должна работать под операционной системой Microsoft Windows XP и выше.
Требования к программной документации
В пакет программной системы должен входить «Руководство пользователя» , документ , благодаря которому пользователь ,впервые использующий программный продукт , будет без труда ориентироваться.
Разработка программного обеспечения для интерполирования функций с помощью полиномов Лагранжа
ЛАГРАНЖА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА — форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1. х п: В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. с помощью обозначений (х x0)/h=t формула (1)… … Математическая энциклопедия
Приложения
Решение интерполяционной задачи приводит к обращению твердой матрицы типа матрицы Вандермонда . Это тяжелый расчет по количеству операций. Многочлены Лагранжа определяют новую базу многочленов, которая позволяет больше не иметь полную матрицу, а диагональную матрицу . Однако инвертирование диагональной матрицы — тривиальная операция .
Таким образом , этот многочлен записывается , где — единственный многочлен такой степени , что и все остальные равны нулю. Это одновременно обобщает интерполяцию Лагранжа и Эрмита . L знак равно ∑ Икс ∈ Икс , 0 ≤ k ℓ Икс , k > ℓ Икс , k ( k ) ( Икс ) знак равно 1 ^ (х) = 1> ℓ Икс , k ( j ) ( z ) ^ (z)>
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Учитывая все значения , можно вычислить числитель и знаменатель рациональной дроби, снова используя подход «разделяй и властвуй». Используя алгоритмы быстрого умножения (in) , интерполирующий полином Лагранжа может быть вычислен с помощью ряда квазилинейных алгебраических операций. НЕТ ′ ( Икс j ) )>
