Оценка рыночного риска (Value at Risk) портфеля облигаций (теория)
Рассмотрим абстрактную случайную величину . В самом общем случае квантилем уровня случайной величины называется такое число , которое удовлетворяет следующей системе:
Рассмотрим те случайные величины, у которых функция распределения непрерывная и строго возрастающая. Тогда определение квантиля случайной величины можно упростить и записать в следующем виде:
а значение в таком случае будет определяться однозначно.
Если не вводить предположение о непрерывности и возрастании функции распределения, то значение определяется не однозначно и, вообще говоря, может принимать любое значение из допустимого отрезка. Для преодоления этой неоднозначности можно, например, брать середину этого отрезка
Именно понятие квантиля случайной величины является основой для определения (Value-at-Risk) ценной бумаги или целого портфеля бумаг. С математической точки зрения, при заданном уровне значимости (доверительный уровень), определяется как квантиль некоторой случайной величины :
В этом примере является доходностью ценной бумаги или портфеля бумаг на момент времени за период , которая рассматривается как случайная величина.
Таким образом, величина имеет следующий вполне явный смысл, который зачастую берется как некоторое классическое определение: — это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия , не будет превышена в течение дней.
Существует несколько способов или методов оценки нужного нам квантиля случайной величины. Самые известные из них
Мы рассмотрим только параметрический подход к оценке . Более того, рассмотрим лишь случай, когда распределение доходностей является нормальным. Часто приводят следующие аргументы против использования предположения о нормальном распределении доходностей:
- эмпирическое распределение доходностей финансовых активов обычно имеет более «тяжелые хвосты», чем это свойственно нормальному распределению;
- распределение доходностей финансовых активов обычно не абсолютно симметрично.
Итак, предположив некоторое распределение для доходности актива (в нашем случае мы делаем предположение о нормальном распределении), можно в явном виде выразить значение величины :
где – квантиль уровня стандартной нормальной случайной величины, а , – математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины , то есть доходности.
CFA — Ожидаемая доходность, ковариация и корреляция активов инвестиционного портфеля | программа CFA | fin-accounting
Диапазон, в котором лежат значения риска портфелей, составляющих эффективное множество, имеет нижнюю границу, равную минимальному риску портфеля ценных бумаг, и верхнюю границу, равную риску при максимальной доходности портфеля.
Свойства ожидаемого значения.
Пусть \( w_i \) — любая постоянная величина (константа), а \( R_i \) — случайная величина.
1. Ожидаемое значение постоянной величины, умноженной на случайную величину, равно постоянной, умноженной на ожидаемое значение случайной величины.
2. Ожидаемое значение взвешенной суммы случайных величин равно взвешенной сумме ожидаемых значений с использованием тех же весов.
Предположим, у нас есть случайная величина с заданным ожидаемым значением. Например, если мы умножим каждый результат на 2, ожидаемое значение случайной величины умножится также на 2. В этом смысл части 1.
Второе утверждение — это правило, которое напрямую приводит к выражению ожидаемой доходности портфеля.
Портфель с n ценными бумагами определяется весами его портфеля, \( w_1, w_2, \ldots, w_n \), которые в сумме составляют 1. Таким образом, доходность портфеля, \( R_p \), равна \( R_p = w_1R_1 + w_2R_2 + \ldots + w_nR_n \).
Оценка рыночного риска (Value at Risk) портфеля облигаций (теория) / Хабр
- 50% которого инвестируются в фонд индекса S&P 500,
- 25% — в фонд долгосрочных корпоративных облигаций США, и
- 25% — в фонд индекса MSCI EAFE (представляющий рынки акций в Европе, Австралии и на Дальнем Востоке).
Чтобы перевести получившуюся доходность портфеля в проценты годовых нужно сначала разделить полученный процент на число дней с начала инвестирования. Так мы получим, условно говоря, среднюю дневную доходность. Теперь достаточно умножить эту цифру на 365, и мы получим привычные проценты годовых:
Коэффициент Шарпа
Эта мера очень похожа на коэффициент Трейнора, но здесь риск – это стандартное отклонение портфеля, а не систематический риск, представленный бетой.
Формула для расчета коэффициента Шарпа выглядит так:
PR=доходность портфеля
RFR=безрисковая процентная ставка
SD=стандартное отклонение
Используя пример из предыдущего раздела, у индекса S&P 500 стандартное отклонение находится на уровне 18% за десятилетний период. Тогда для управляющих портфелями коэффициент Шарпа будет выглядеть так:
Как и в предыдущем случае, оказывается, что лучший портфель не обязательно тот, что приносит наибольшее количество денег. Напротив, наилучший результат – это доходность в совокупности с приемлемым риском.
В отличие от коэффициента Трейнора, коэффициент Шарпа оценивает результативность с учетом диверсификации. Таким образом, эта мера лучше подходит для оценки хорошо диверсифицированных инвестпортфелей.
Тема 3. Формирование портфеля ценных бумаг — Мегаобучалка
&= E \big[w_1w_1(R_1 — ER_1)(R_1 — ER_1) + w_1w_2(R_1 — ER_1)(R_2 — ER_2) \\
&+ w_1w_3(R_1 — ER_1)(R_3 — ER_3) + w_2w_1(R_2 — ER_2)(R_1 — ER_1) \\
&+ w_2w_2(R_2 — ER_2)(R_2 — ER_2) + w_2w_3(R_2 — ER_2)(R_3 — ER_3) \\
&+ w_3w_1(R_3 — ER_3)(R_1 — ER_1) + w_3w_2(R_3 — ER_3)(R_2 — ER_2) \\
&+ w_3w_3(R_3 — ER_3)(R_3 — ER_3) \big] \\
& \text \\ \\
