Обратная матрица
, главная диагональ — единицы, остальные элементы нули.
Если Δ ≠ 0 , то матрица называется невырожденной или неособенной; иначе, если равен нулю — вырожденной или особенной.
Теорема. Чтобы имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее детерминант был отличен от нуля.
Для не квадратных и вырожденных обратных матриц не существует.
Обратная матрица для , обозначается через -1 , так что В = -1 вычисляется по формуле
где — алгебраические дополнения элементов aij , Δ = ||. Для не квадратной Δ, обратная матрица -1 не существуют.
Вычисление -1 по формуле (1) если имеет высокий порядок трудоёмко, поэтому удобнее найти обратную с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную путём ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е.
Если совершённые над ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то результатом будет обратная матрица -1 . Проще совершать ЭП над и Е одновременно, записывая обе рядом через черту | E. Если нужно вычислить А -1 , то следует использовать только строки или только столбцы.
Транспонирование матрицы в программе Microsoft Excel
- det(A -1 ) = 1/det(A), det обозначает определитель матрицы.
- (AB) -1 = A -1 B -1 для двух квадратных обратимых A и B.
- (A -1 ) T = (A T ) -1 ;
- (kA) -1 = A -1 /k;
- (A -1 ) -1 = A;
- E -1 = E;
- Решение системы линейных уравнений Ax = b (b — ненулевой вектор), x — искомый вектор, если A -1 существует, то x = A -1 b.
Если у вас есть лист с данными из столбцов, которые нужно повернуть, чтобы изменить порядок строк, используйте функцию транспонировать . С его помощью можно быстро переключать данные из столбцов в строки и наоборот.
Формулы массива
Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).
В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.
Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.
Как перемножить матрицы в excel
Свободная среда разработки программного обеспечения для компилятора Free Pascal. Библиотека визуальных компонентов. Перенос Delphi-программ с графическим интерфейсом в различные операционные системы. Ввод размерности матрицы и умножение ее на вектор.
Лабораторно-практическое занятие N4. Умножение матриц. Вычисление обратной матрицы. Решение уравнений и систем линейных уравнений
Предназначено: для студентов по направлениям: менеджмент, экономика, международная экономика, налоги и налогообложение, юриспруденция.
Цель:научиться использовать программу Excel для решения задач линейной алгебры (вычисление определителей матрицы, умножение матриц, вычисление обратной матрицы, решение систем линейных уравнений), а также находить корни нелинейных уравнений.
Результат обучения:пользовательсможет с помощью программы Excel находить корни уравнений и решать системы линейных уравнений, вычислять определители матрицы и использовать матричное исчисление для решения экономических задач.
I).Вычислить определители матриц А и В;
II).Найти матрицу, обратную к матрице А и выполнить проверку
III). Вычислить произведение матриц А и В;
IV).Решении практических задач матричным способом
VI). Решение алгебраического уравнения
I).Загрузите программу Exсel.Переименуйте лист 1 (новое название листа — Матрицы). Даны две матрицы A и В вычислить определители матриц
В ячейках А7 и F7 наберите заголовки: Определитель А=и Определитель В=.
Сохранить документ в папке Excel в файле lab-4.xls.
Проверьте правильность вычисления обратной матрицы А -1 умножением на нее исходной матрицы А, в результате должна получиться единичная матрица Е.
В ячейках A17:D20, где представлены результаты проверки, задайте числовой формат — два десятичных знака после запятой.
Сохранить документ под тем же именем lab-4.xls. При повторном сохранении под тем же именем достаточно нажать кнопку «Сохранить» .
IV.) Решении практических задач матричным способом
Умножение матриц часто используется при решении практических задач, где данные представлены в табличной форме.
Откройте новый рабочий лист. Присвойте листу новое имя — Задача. Наберите и оформите на этом листе представленные таблицы 4.1 и 4.2.
Таблица 4.1. План завоза продуктов по магазинам.
| Номера магазинов | |||||||||||
| Месяцы | N10 | N12 | N15 | N18 | N19 | N20 | N22 | N25 | N30 | N32 | N34 |
| Январь | |||||||||||
| Февраль | |||||||||||
| Март | |||||||||||
| Итого |
Данные, представленные в этих таблицах, образуют две матрицы размера 4х11 и 11х6. Решение задачи получается умножением соответствующих элементов 1-й и 2 таблиц, т.е. обычным умножением матриц. Результирующая матрица, образующая Таблицу 4.3, будет иметь размер 4х6.
Таблица 4.2. Объем поступлений продуктов при каждом завозе по магазинам.
| N магазина | Консервы рыб., шт. | Мясо, т. | Колбасн. изд, кг | Сахар, ц. | Крупы, ц. | Макарон. издел., ц. |
| N10 | ||||||
| N12 | ||||||
| N15 | ||||||
| N18 | ||||||
| N19 | ||||||
| N20 | ||||||
| N22 | ||||||
| N25 | ||||||
| N30 | ||||||
| N32 | ||||||
| N34 |
Подготовьте форму таблицы 4.3. Ее верхняя строка заголовков получается копированием верхней строки с заголовками Таблицы 4.2, а левые заголовки получаются копированием левой колонки с заголовками Таблицы 4.1.
Таблица 4.3. Требуемое количество продуктов на 1-й квартал.
| Месяцы | Консервы рыб., шт. | Мясо, т. | Колбасн.изд, кг | Сахар, ц. | Крупы, ц. | Макарон. издел., ц. |
| Январь | ||||||
| Февраль | ||||||
| Март | ||||||
| Итого |
Результаты внутри Таблицы 4.3 получаются как результат умножения данных Таблицы 4.1 (матрица А) на данные Таблицы 4.2 (матрица В) аналогично выполненному ранее умножению матриц.
Задание:Для решения системы линейных уравнений откройте новый рабочий лист, присвойте ему имя Система уравнений.
а) найти матрицу, обратную к исходной матрице А;
б) умножить получившуюся обратную матрицу на вектор свободных членов уравнений В.
Подготовьте на листе необходимые заголовки для решения системы уравнений для этого введите текст в ячейки: А1 —Исходная матрица, F1- Правая часть системы уравнений, A7- Обратная матрица, F7- Решение, H7- Проверка.
Для редактирования текста выделите ячейки А1-D1 и нажмите кнопку на панели инструментов «Объединить и поместить в центре» , аналогично проделайте с ячейками A7:D7.
Рис. 4.1.
Введите в соответствующие ячейки ниже заголовков матрицу из коэффициентов при неизвестных в уравнениях и правые части системы уравнений как показано на рисунке 4.1.
С помощью функции МОБР вычислите обратную матрицу для этого выделите ячейки А9:D12 нажмите = откройте мастер функций , категории математические, функцию МОБР. В появившемся диалоговом окне в строке массив выделите мышью матрицу А, в результате появятся ячейки (A2:D5).
Решение системы линейных уравнений, т.е. Х=А -1 •В С помощью функции умножения матриц умножьте обратную матрицу на вектор свободных членов и результат поместите в соответствующей части рабочего листа (выделить F9:F12 нажать = и выполнить умножение матриц как показано на рис.4.2.)
Рис. 4.2.
Проверьте полученное решение системы линейных уравнений. Для этого надо умножить исходную матрицу на полученное решение. В результате должен получиться вектор свободных членов (см. Рис.4.3.).
Задание:Найти корни уравнения: 3x 5 — 5x 2 + 2x -7 = 0 и найти минимум функции на интервале (-2; 3).
1)Вставить новый лист (Вставка ®Лист) и переименовать (Формат ®Лист®Переименовать) в «Поиск решения».
2)в ячейке А1 введите заголовок Решение уравнения, в ячейке В1 введите заголовок Функция, в ячейке С1 — Точка экстремума,в ячейке D1 — заголовок Минимум функции;
3) в ячейках А2 и С2 наберите начальное приближение — 0;
4) в ячейке В2 с помощью Мастера функций введите функцию, находящуюся в левой части уравнения (в качествех будет ячейка А2): =3*A2^5-5*A2^2+2*A2-7;
5) в ячейке D2 также наберите нашу функцию, только вместо А2 необходимо набрать С2;
Выполним форматирование ячейки В2, для этого курсор установим в В2 откроем пункт меню Формат®Ячейки откроется диалоговое окно см рис.4.5. Далее выполняются действия по порядку обозначенные на рисунке 1. «Число» ®2.«Числовой»®3. «Число десятичных знаков:» 9 ®4. ОК.
Рис.4.5.
В результате проделанных операций в В2 значение -0,000000583 округлим это значение с помощью панели инструментов кнопки «Уменьшить разрядность» до сотых (0,00).
Примечание: Если в результате поиска решение не может быть найдено (об этом на экране будет выведено соответствующее сообщение), это означает, что заданный вами интервал поиска или начальное приближение подобраны неудачно и вам необходимо изменить интервал поиска, задаваемый ограничением;
7) для нахождения минимального значения функции необходимо вызвать команду Сервис/Поиск решения и в ее окне указать целевую ячейку D2 равной минимальному значению, изменяемая ячейка — С2, а ограничения поиска минимума (интервал (-2;3)), задается ограничениями C2>-2 и C2. В результате выполнения поиска решения в ячейке С2 вы получите точку экстремума, а в ячейке D2 — минимальное значение функции на интервале.
5. Сохранить полученные результаты с помощью кнопки «Сохранить» при этом книга Excel с ее страницами сохраняется под именем lab-4.xlsприсвоенном в начале лабораторной работы.
Функция для умножения матриц в excel. Решение системы уравнений в Excel методом Крамера и обратной матрицы
Наиболее простым и популярным вариантом среди пользователей является применение функции МУМНОЖ . Оператор МУМНОЖ относится к математической группе функций. Как раз его непосредственной задачей и является нахождение произведения двух матричных массивов. Синтаксис МУМНОЖ имеет такой вид:
| Номера магазинов | |||||||||||
| Месяцы | N10 | N12 | N15 | N18 | N19 | N20 | N22 | N25 | N30 | N32 | N34 |
| Январь | |||||||||||
| Февраль | |||||||||||
| Март | |||||||||||
| Итого |
Перемножение одной матрицы на другую в Microsoft Excel
Одной из частых операций, которую выполняют при работе с матрицами, является перемножение одной из них на другую. Программа Excel является мощным табличным процессором, который предназначен, в том числе и для работы над матрицами. Поэтому у него имеются инструменты, которые позволяют перемножить их между собой. Давайте узнаем, как это можно выполнить различными способами.
Процедура перемножения матриц
Сразу нужно сказать, что перемножить между собой можно далеко не все матрицы, а только те, которые соответствуют определенному условию: число столбцов одной матрицы должно быть равным числу строк другой и наоборот. Кроме того, исключается наличие в составе матриц пустых элементов. В этом случае тоже выполнить требуемую операцию не получится.
Способов перемножить матрицы в Экселе все-таки не так уж и много — всего два. И оба они связаны с применением встроенных функций Excel. Разберем в деталях каждый из данных вариантов.
Способ 1: функция МУМНОЖ
Наиболее простым и популярным вариантом среди пользователей является применение функции МУМНОЖ. Оператор МУМНОЖ относится к математической группе функций. Как раз его непосредственной задачей и является нахождение произведения двух матричных массивов. Синтаксис МУМНОЖ имеет такой вид:
Таким образом этот оператор имеет два аргумента, которые представляют собой ссылки на диапазоны двух перемножаемых матриц.
Теперь давайте посмотрим, как используется функция МУМНОЖ на конкретном примере. Имеется две матрицы, число строк одной из которых, соответствует количеству столбцов в другой и наоборот. Нам нужно перемножить два этих элемента.
-
Выделяем диапазон, где будет отображаться результат умножения, начиная с его верхней левой ячейки. Размер данного диапазона должен соответствовать числу строк у первой матрицы и числу столбцов у второй. Клацаем по пиктограмме «Вставить функцию».
Способ 2: использование составной формулы
Кроме того, существует ещё один способ умножения двух матриц. Он более сложный, чем предыдущий, но тоже заслуживает упоминания, как альтернативный вариант. Данный способ предполагает использование составной формулы массива, которая будет состоять из функции СУММПРОИЗВ и вложенного в неё в качестве аргумента оператора ТРАНСП.
В качестве аргументов из группы «Массив» используется ссылка на конкретный диапазон, который нужно перемножить. Всего может быть использовано от двух до 255 таких аргументов. Но в нашем случае, так как мы имеем дело с двумя матрицами, нам понадобится как раз два аргумента.
То есть, единственным аргументом данного оператора является ссылка на тот массив, который следует «перевернуть». Вернее, в нашем случае даже не на весь массив, а только на его первый столбец.
Как видим, несмотря на то, что был получен равнозначный результат, использовать функцию для умножения матриц МУМНОЖ значительно проще, чем применять для этих же целей составную формулу из операторов СУММПРОИЗВ и ТРАНСП. Но все-таки данный альтернативный вариант тоже нельзя оставить без внимания при изучении всех возможностей перемножения матриц в Microsoft Excel.
Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Помимо этой статьи, на сайте еще 12345 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.
Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Работа с матрицами в Excel-2007
- выделите указанный диапазон H8:I9
- поставьте курсор в Строку формул (или нажмите клавишу F2 )
- введите формулу =МУМНОЖ(A8:B9;D8:E9)
- нажмите CTRL+SHIFT+ENTER
В появившемся диалоговом окне есть масса вариантов, что можно и как вставить в выбранную ячейку. В нашем случае нас интересует пункт «Транспонировать». Ставим напротив него указатель и применяем специальную вставку.
Get expert help now
В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.
Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.
Матрица ковариаций в Excel.
Для каждого числа а≠0 существует обратное число а -1 , и для квадратных матриц вводится аналогичное понятие. Обратные матрицы обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.
Подобные документы
Принципы разработки и пример работы программы, реализующей основные операции алгебры матриц: сложение, вычитание, умножение, транспонирование, а также умножение матрицы на число. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи операций над матрицами.
курсовая работа [956,7 K], добавлен 25.01.2010
Практика построения графиков с использованием функций и работа с мастером диаграмм в ПП Microsoft Excel. Применение встроенных функций работы с матрицами для решения системы линейных уравнений. Практика создания запросов при работе с базами данных.
контрольная работа [436,1 K], добавлен 08.08.2011
Разработка компоненты для математических вычислений (операций над матрицами) с использованием технологии OpenGL (сложение, вычитание, умножение, транспонирование, определитель, обратная матрица). Базовые навыки по работе с технологией в среде .Net.
курсовая работа [365,6 K], добавлен 17.02.2015
Сортировка строк списка в заданном порядке в Excel, технология использования расширенного фильтра. Формирование итогов в списках по заданным условиям. Процесс ввода матрицы в MathCAD. Контур оперативного управления (логистики) комплекса «Галактика».
контрольная работа [779,2 K], добавлен 03.08.2011
Структура программы Pascal и алгоритмы решения задач. Работа с циклическими операторами, массивами, процедурами. Составление блок-схем задач. Операции над матрицами в программе MathCad. Работа формулами, графиками и диаграммами в оболочке MS Excel.
курсовая работа [459,0 K], добавлен 13.08.2012
Функции системного блока, монитора, клавиатуры, мыши, принтера. Операционная система компьютера Microsoft Windows, офисные приложения. Работа с таблицами: элементы окна Excel, создание диаграммы, базы данных, их поиск и замена. Работа с мастером функций.
контрольная работа [578,5 K], добавлен 27.11.2010
Свободная среда разработки программного обеспечения для компилятора Free Pascal. Библиотека визуальных компонентов. Перенос Delphi-программ с графическим интерфейсом в различные операционные системы. Ввод размерности матрицы и умножение ее на вектор.
Сложение
В появившемся диалоговом окне есть масса вариантов, что можно и как вставить в выбранную ячейку. В нашем случае нас интересует пункт «Транспонировать». Ставим напротив него указатель и применяем специальную вставку.
