Матрица линейного оператора. преобразование подобия. собственные значения и собственные векторы линейного оператора. диагонализация матриц
Задание 1. Линейный оператор преобразует векторы , , в векторы , , . Найти матрицу линейного оператора.
Так как , то , а искомая матрица линейного оператора .
Задание 2. Пусть линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если матрица является матрицей перехода от базиса к базису .
Решение. Матрицы и линейного оператора , заданного в разных базисах, связаны между собой соотношением . Так как , то
Задание 3. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .
Решение. Связь между матрицами и линейного оператора в разных базисах определяется формулой , где – матрица перехода от базиса к базису .
Задание 4. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .
Решение. Матрицы и связаны между собой соотношением , где – матрица перехода от базиса к базису .
Задание 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей .
Решение. Для нахождения собственных значений линейного оператора составим характеристическое уравнение , т. е. . Раскрывая определитель, получим , т. е. , .
По определению называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному значению , если .
Найдём собственные векторы и , соответствующие собственным значениям и .
При получим: , что равносильно такой однородной системе уравнений:
При : , что равносильно однородной системе уравнений
Пусть – базисная переменная, – свободная. Примем , тогда , а следовательно, .
Так как собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, то они должны быть линейно независимы. Проверим линейную независимость полученных собственных векторов и .
Составим матрицу . Так как , то собственные векторы и линейно независимы.
Ответ: собственные числа , ; собственные векторы , .
Задание 6. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.
Решение. Матрица линейного оператора будет диагональной в базисе из собственных векторов, если такой базис существует. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Запишем характеристическое уравнение: , т. е. или , откуда получаем , .
При получим: , что соответствует следующей однородной системе уравнений:
Пусть – базисная переменная, – свободная. Полагая , получим .
При : . Соответствующая однородная система уравнений имеет вид:
Откуда . Пусть – базисная переменная, – свободная, примем тогда , а, следовательно, .
Собственные векторы и отвечают различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, т. е. могут составить базис. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов и имеет диагональный вид: .
Можно проверить полученный результат. Так как , где матрица в случае перехода к базису из собственных векторов и имеет вид , следовательно,
Задание 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Построить, если это возможно, базис из собственных векторов и найти матрицу этого линейного оператора в базисе из собственных векторов.
При : , тогда соответствующая однородная система уравнений примет вид:
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Полагая , получим .
При : , или, переходя к однородной системе уравнений, получим
При получим: , и однородная система уравнений примет вид:
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Тогда если , то . Найденные собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, значит, существует базис из собственных векторов. Матрица перехода к такому базису , тогда
Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет вид: .
Ответ: , , ; , , ; матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов .
Нежное введение в собственные разложения, собственные значения и собственные векторы для машинного обучения
В результате в ячейках K8:K11 появятся значения элементов вектора свободных членов B, рис. 6.2., совпадающие со значениями элементов исходного вектора B –F8:F11, а для любой ячейки диапазона K8:K11 в строке состояний подтверждение выполнения матричной операции .
Умножение и деление матрицы на число в Excel
Способ 1
Рассмотрим матрицу А размерностью 3х4. Умножим эту матрицу на число k. При умножении матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, при этом каждый элемент матрицы А умножается на число k.
Примечание: адрес ячейки H4 вводим как абсолютную ссылку, чтобы при копировании формулы ссылка не менялась.
С помощью маркера автозаполнения копируем формулу ячейки К3 вниз и вправо на весь диапазон матрицы В.
Таким образом, мы умножили матрицу А в Excel и получим матрицу В.
Для деления матрицы А на число k в ячейку K3 введем формулу =B3/$H$4 и скопируем её на весь диапазон матрицы В.
Способ 2
Этот способ отличается тем, что результат умножения/деления матрицы на число сам является массивом. В этом случае нельзя удалить элемент массива.
Для выполнения деления в данном примере в диапазон вводим формулу =B3:E5/H4, т.е. знак «*» меняем на «/».
Три способа умножения матриц в Excel — fastai part-2, lesson-8
В результате в ячейках K8:K11 появятся значения элементов вектора свободных членов B, рис. 6.2., совпадающие со значениями элементов исходного вектора B –F8:F11, а для любой ячейки диапазона K8:K11 в строке состояний подтверждение выполнения матричной операции .
