shortestpath

Кратчайший путь между заданными узлами

Кратчайший путь во взвешенном графике

Создайте и постройте график со взвешенными ребрами.

Найдите кратчайший путь между узлами 3 и 8 и задайте два выходных параметров, чтобы также возвратить длину пути.

Поскольку ребра в центре графика имеют большие веса, кратчайший путь между узлами 3 и 8 обходит контур графика, где вес ребра является наименьшим. Этот путь имеет общую длину 4.

Вес ребра игнорирования кратчайшего пути

Создайте и постройте график со взвешенными ребрами, с помощью пользовательских координат узла.

Найдите кратчайший путь между узлами 6 и 8 на основе веса ребра графика. Подсветите этот путь зеленого цвета.

Задайте Method как unweighted проигнорировать вес ребра, вместо этого обрабатывая все ребра, как будто у них был вес 1. Этот метод производит различный путь между узлами, тот, который ранее имел слишком большой из длины пути, чтобы быть кратчайшим путем. Подсветите этот путь красного цвета.

Кратчайший путь в мультиграфе

Постройте кратчайший путь между двумя узлами в мультиграфе и подсветите определенные ребра, которые пересечены.

Создайте взвешенный мультиграф с пятью узлами. Несколько пар узлов имеют больше чем одно ребро между ними. Постройте график для ссылки.

Найдите кратчайший путь между узлом 1 и узлом 5. Поскольку несколько из пар узла имеют больше чем одно ребро между ними, задают три выходных параметров к shortestpath возвратить определенные ребра, которые пересекает кратчайший путь.

Результаты показывают, что кратчайший путь имеет общую длину 11 и следует за ребрами, данными G.Edges(edgepath,:) .

Подсветите этот путь к ребру при помощи highlight функция с ‘Edges’ пара «имя-значение», чтобы задать индексы пересеченных ребер.

Кратчайший путь от координат узла

Найдите кратчайший путь между узлами в графике с помощью расстояния между узлами как вес ребра.

Создайте x- и y-координаты для вершин графика. Затем постройте график с помощью координат узла путем определения ‘XData’ и ‘YData’ пары «имя-значение».

Добавьте вес ребра в график путем вычисления Евклидовых расстояний между вершинами графика. Расстояние вычисляется от координат узла ( x i , y i ) как:

Добавьте расстояния до графика как вес ребра и повторно постройте график с помеченными ребрами.

Вычислите кратчайший путь между узлом 1 и узлом 10 и задайте два выходных параметров, чтобы также возвратить длину пути. Для взвешенных графиков, shortestpath автоматически использует ‘positive’ метод, который рассматривает вес ребра.

Используйте highlight функционируйте, чтобы отобразить путь в графике.

Обход или поиск – одна из основных операций, которую можно провести на графе. При поиске в ширину мы начинаем с определенной вершины и исследуем всех ее соседей на том же уровне, прежде чем переходить к следующему уровню.

Алгоритмы на графах

Во-первых, у нас нет информации о расстояниях (S, A) и (S, B), единственное, что мы знаем, это то, что S является начальной точкой, его расстояние равно 0, а его путь пока является пустым множеством. Итак, сначала мы ставим в очередь приоритеты расстояния от S до A и B.

Поиск кратчайших путей в графах (объединение разделов по Дейкстре и Флойду)

Алгоритм Дейкстры (Dijkstra’s algorithm) — алгоритм на графах, находящий кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса (без рёбер с отрицательной «длиной»).

Вариант 1. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих города. Некоторые дороги односторонние. Найти кратчайшие пути от заданного города до каждого другого города (если двигаться можно только по дорогам).

Вариант 2. Имеется некоторое количество авиарейсов между городами мира, для каждого известна стоимость. Стоимость перелёта из A в B может быть не равна стоимости перелёта из B в A. Найти маршрут минимальной стоимости (возможно, с пересадками) от Копенгагена до Барнаула.

$v_0$ — начальная вершина (от которой мы ищем кратчайшее растояние до всех остальных)

$R_i$ — известное нам расстояние от вершиеы $v_0$ до вершины $i$-ой.

$D$ — множество вершин до которых мы знаем кратчайшее расстояние от $v_0$.

$GROW(V/D,v)$ — Добавляем вершину $v$ из множества $V/D$ в множество $D$.

$RELAX(V/D,v)$ — пробегаем достижимые из $v$ вершины до которых мы ещё не знаем кратчайшее расстояние и обновляем расстояния $R_i$ от вершины $v$.

Каждой вершине $v$ из $V$ сопоставим значение $a[v]$ — минимальное известное расстояние от этой вершины до начальной $s$. Алгоритм работает пошагово — на каждом шаге он рассматривает одну вершину и пытается улучшить текущее расстояние до этой вершины. Работа алгоритма завершается, когда все вершины посещены, либо когда вычислены расстояния до всех вершин, достижимых из начальной.

Инициализация. Значение $a[s]$ самой начальной вершины полагается равным 0, значение остальных вершин — бесконечности (в программировании это реализуется присваиванием большого, к примеру, максимально возможного для данного типа, значения). Это отражает то, что расстояния от $s$ до других вершин пока неизвестны.

Метод обхода графа при котором в первую очередь переход делается из первой вершины, из которой мы ещё не ходили (вершины хранятся в очереди). Обход в глубину получается естественным образов при рекурсивном обходе графа.

Алгоритмы на графах

1. Кратчайший путь между $i,\;j$ не проходит через вершину $k$, тогда $d_^=d_^$
2. Существует более короткий путь между $i,\;j$, проходящий через $k$, тогда он сначала идёт от $i$ до $k$, а потом от $k$ до $j$. В этом случае, очевидно, $d_^=d_^ + d_^$

Алгоритм Прима — алгоритм построения минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Алгоритм впервые был открыт в 1930 году чешским математиком Войцехом Ярником, позже переоткрыт Робертом Примом в 1957 году, и, независимо от них, Э. Дейкстрой в 1959 году.