ФИЗИКА

Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?

Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:

Математическая константа е является основанием натурального логарифма.

Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:

Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.

Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).

С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

• Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
• Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
• Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

С деньгами дела обстоят по-другому. Как только мы зарабатываем пару монет прибыли, эти монетки начинают приносить свои микро-прибыли. Нет необходимости ждать, пока набежит целый рубль — свежим денежкам совсем не нужно дозревать, чтобы начать плодоносить.

Основываясь на нашей старой формуле, прирост процента выглядит примерно так:

Но опять же, это не совсем правильно: вся сумма процента появляется в последний день. Давайте посмотрим поближе и разделим год на два промежутка. Мы зарабатываем 100% прибыль каждый год, или по 50% каждые 6 месяцев. Таким образом, мы заработаем 50 копеек в первые полгода, и другие 50 копеек во вторую половину года:

И все равно, это неверно! Конечно, наш рубль-родитель (Синий кружок) зарабатывает рубль в течение года. Но после 6 месяцев мы получим 50-копеечный кусочек прибыли – готовые деньги, которыми мы пренебрегаем! Эти 50 копеек уже могли бы зарабатывать свои собственные деньги:

Поскольку наш коэффициент равен 50% каждые полгода, эти 50 копеек могли бы заработать еще 25 копеек (50% от 50 копеек). В конце года мы бы получили:

Если все сложить, получится 2,25 рублей. Мы заработали 1,25 рубля всего на одном исходном рубле, и это даже лучше, чем удвоение!

Вернемся к формуле. Рост за два полу-периода по 50% составит:

Идем дальше. Давайте поделим рост не на два периода по 50%, а на 3 сегмента по 33% каждый. Кто сказал, что надо ждать целых 6 месяцев до начала получения прибыли? Давайте детализируем наши вычисления.

Вот так выглядит наш рост, расписанный на 3 составных периода:

Каждый отдельный цвет обозначает определенное «поколение» прибыли . Тогда картина выглядит так:

• Месяц 0: Мы начали с 1 рубля (Синий)
• Месяц 4: Синий родитель заработал 1/3 рубля сам, то есть родил Зеленого детеныша, равного 33 копейкам.
• Месяц 8: Синий родитель заработал еще 33 копейки, его Зеленый детеныш, соответственно, на столько же подрос. За этот период Зеленый детеныш уже заработал свои 11 копеек (33% от 33 копеек). Эти 11 копеек становятся Красным внуком.
• Месяц 12: Процесс становится еще интереснее. Синий родитель зарабатывает еще 33 копейки, и его Зеленый детеныш совсем повзрослев, став целым рублем. Зеленый и сам заработал 22 копейки за последние 4 месяца, поэтому его Красный ребенок весит уже 33 копейки. И Красный, будучи в возрасте 11 копеек в начале этого промежутка, заработал свои 4 копейки (33% от 11 копеек) – и это уже его Фиолетовый детёныш.

Фуух! Спустя 12 месяцев у нас получается: 1 + 1 + 0.33 + 0.04 или примерно 2.37 рубля.

Потратим еще чуть времени, чтобы понять, что на самом деле происходит с таким ростом:

• Каждый цвет зарабатывает свой процент и «передает» его другому цвету. Заработанные деньги могут зарабатывать свои собственные прибыли, и этот цикл повторяется.
• Мне нравится думать, что начальная сумма (Синий родитель) никогда не меняется. Синий вкладывает свои заработки в рождение Зеленого, 33 копейки каждые 4 месяца, а сам не растет. На графике синими стрелками показано, как Синий родитель кормит своего Зеленого малыша.
• Зелёный родитель только что произвёл на свет красного (зелёные стрелки), но синий родитель про это не знает ни сном ни духом.
• Сам Зеленый постоянно растет (на кормежке Синего родителя), вкладывая все больше и больше в свое Красное дитя. Между 4 и 8 месяцами Зеленый отдает 11 копеек Красному. Между 8 и 12 месяцем Зеленый дает 22 копейки Красному, так как сам он к 8 месяцу вырос до 66 копеек. Если бы мы удлинили нашу диаграмму, Зеленый бы отдал Красному 33 копейки, так как сам он к 12 месяцу подрос до целого рубля.

Теперь понятнее? Поначалу это сложно — я и сам запутался, пока рисовал все эти графики. Главное понять, что каждый «рубль» создает маленьких помощников, а те, в свою очередь, создают помощников себе, и так далее.

Если рассматривать год как 3 равных периода, формула роста будет такой:

Мы заработали 1.37 рубля, а это даже лучше, чем те 1.25, что получились у нас в предыдущий раз!

А почему бы не разбить год на более короткие периоды? Как насчет месяца, дня, часа или даже наносекунды? Наша прибыль взлетит до небес?

Прибыль увеличится, но уже не намного. Попробуем подставить в нашу волшебную формулу разные значения n, и получим следующее:

Результаты растут и сходятся к числу 2.718. Так… подождите… да это же число е!

Ух ты! Если выражаться заумными математическими терминами, число е определяется как коэффициент роста при непрерывном делении 100% прибыли на меньшие и меньшие периоды:

Данный предел сходится к одной точке, и этому есть доказательства. Как вы видите, когда берем меньшие периоды, общая прибыль всегда остается около 2.718.

В этом примере всё удваивалось за определённый промежуток времени.

Теперь давайте разберёмся, как от этого меняется наше понимание сути числа е, а также что делать с системами, которые растут экспоненциально, но не удваиваются, а имеют другой коэффициент роста.

Так, если мы начнем с 1 рубля и разложим непрерывно 100% прироста, мы получим 1е. Если в качестве начальной суммы взять 2 рубля, в итоге получим 2е. Если мы начнем с 11.79 рублей, получим 11.79е.

Число е — это нечто вроде предела скорости (как «число с» — скорость света). Эта константа показывает, как быстро можно вырасти, используя непрерывный процесс. Вы можете не всегда достигать предела скорости, но это удобная точка сравнения: вы можете описать любой коэффициент роста с помощью этой универсальной константы.

(Отступление: будьте осторожны, отличайте понятие увеличения от понятия конечного результата. 1, становящаяся е (2.718…), увеличилась (коэффициент роста) на 171.8%. Число е, само по себе, является конечным результатом, который вы видите после того, как весь прирост зачислен (начальная сумма + прирост)).

Хороший вопрос. Что если ежегодный рост составляет 50%, а не 100%? Можем ли мы по-прежнему использовать число е?

Давайте проверим. Коэффициент составного роста в 50% выглядит примерно так:

Хм… Что мы можем тут сделать? Помните, 50% — это общий процент дохода, а n — это количество периодов, на которые этот процент поделен для начисления (капитализации). Если мы выберем n=50, тогда наш рост будет поделен на 50 кусочков по 1%:

Это, конечно, не бесконечность, но все равно достаточно детализированный пример. А теперь представьте, что мы также поделили наш «обычный» рост в 100% на 1% кусочки:

Ну вот, что-то уже проглядывается. В нашем привычном случае у нас получается 100 нарастающих изменений, величиной 1% каждое. В случае с 50%, у нас 50 нарастающих изменений по 1% каждое.

Какая разница между двумя этими числами? По сути, в случай с 50% равен половине случая со 100%:

Это очень интересно. 50/100 = 0.5, что является показателем степени, в которую мы возводим е. Это общий принцип: если бы наш процент роста был 300%, мы бы могли разделить его на 300 кусочков по 1%. И в итоге мы бы получили результат, равный е 3 .

При том, что рост выглядит как простое прибавление (+1%), нужно помнить, что на самом деле это умножение (× 1.01). Вот почему мы используем степени (повторяющееся умножение) и квадратные корни (е^1/2 означает «половину» количества изменений, т.е. половину числа умножений).

Хотя мы выбрали 1%, за коэффициент роста можно было принять меньшее число (0.1%, 0.0001%, или даже бесконечно маленькое число!). Суть в том, что какой бы коэффициент мы не выбрали, он будет просто означать новую степень для е:

Предположим, мы вырастем на 300% в течение 2 лет. Мы умножаем ежегодный прирост (е 3 ) на самого себя:

Магия степеней позволяет избегать двойного возведения. Мы просто умножаем коэффициент на время, и возводим число е в получившуюся степень.

Не натворит ли это открытие дел? Не сломается ли наша формула, не наступит ли конец света?

переменная х являет собой комбинацию коэффициента роста и времени.

Позвольте мне объяснить. В ситуации с непрерывным составным ростом, 10 лет с 3% приростом дадут такой же результат, как 1 год с 30% ростом (без последующего роста).

• 10 лет 3% роста будут означать, что сумма изменится 30 раз на 1 процент. Эти изменения происходят каждые 10 лет, так что каждый год сумма возрастает на 3%.
• 1 период с 30% ростом означает также 30 раз по 1%, но происходит это все за 1 год. Так что общий прирост составляет 30% и на этом прекращается.

В любом случае происходит 30 приростов по 1%. Чем выше коэффициент (30%), тем меньше времени понадобится, чтобы дорасти до того же объема прибыли (1 год). Чем коэффициент меньше (3%), тем дольше придется расти (10 лет).

Но в обоих случаях, рост составит е 0.30 = 1.35 в итоге. Из-за нехватки терпения мы предпочитаем более высокий и быстрый рост медленному и длительному, но число е показывает, что эффект одинаков в обоих случаях.

Если за период В мы получим прирост П, наш общий составной рост будет равен е пв . Между прочим, это также работает для отрицательных и дробных приростов.

В следующей статье мы рассмотрим экспоненциальный рост и число е на реальных примерах: рост кристаллов, максимальная банковская ставка, скорость радиоактивного распада.

Данный критерий был разработан Уильямом Сили Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны, статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

Экспонента и число е: просто и понятно. Статьи других авторов — Физика и математика — Каталог статей — Персональный сайт

Если фактическое отношение Фишера меньше критического отношения Фишера, то следует принять нулевую гипотезу с уровнем значимости α . Это означает, что фактор не оказывает существенного влияния на данные с вероятностью P = 1 − α .

Примеры использования функции СТЕПЕНЬ в Excel

​ единицы. Нет никакого​ количество дней может​ назначении, одна суммирует,​ одного десятичного знака:​=МНИМ.СТЕПЕНЬ(«2+3i»; 3)​ возвести комплексное число.​ программе Excel. Два​ выберите пункт «Текстовый».​

Функция СТЕПЕНЬ в Excel для возведения числа в указанную степень

​ в ячейке указать​ функцию».​ В данном случае​Способов, как возвести число​ более наглядной.​ содержит текстовые данные.​0 – значение, которое​Определим первое значение зависимой​ частному от деления​

​ оказаться отрицательным, что​ вторая перемножает. Более​Если второй аргумент равен​Комплексное число 2+3i, возведенное​Для преобразования коэффициентов при​

​ в куб (-46​ действительной и мнимой​ непосредственное возведение в​ того, чтобы запись​ необходимо использовать надстрочный​

Как построить график функций используя СТЕПЕНЬ в Excel

​ можно извлечь корень​ =СТЕПЕНЬ(5;ИСТИНА) являются допустимыми,​ если расчет не​Описание аргументов:​ предыдущего соседних членов:​ могут даже не​Чтобы избежать этого, воспользуемся​СУММ​ округляет значение до​

​ поскольку Excel выполняет​ производится.​2 – число, которое​Для нахождения 15-го члена​ пригодиться. Математические функции,​ функцией​

​Вы можете прочитать​ ближайшего целого:​-46+9,00000000000001i​ число используйте функцию​ очень удобно при​

Депозитный калькулятор в Excel

​ корректно. Итак, введите​ деле выполнение такой​ выделите ее и​ клавишу Shift и​ установка соответствующего знака.​ числа. Для реализации​ автоматическое преобразование типов​

​ необходимо возвести в​ используем формулу:​ описанные в этом​

​ суммы процентов. Для​ степень;​=A2*СТЕПЕНЬ(C2;15-1)​ уроке, – тот​:​ в Excel, используя​ и отрицательным, в​ тригонометрические представлено около​

Функция СТЕПЕНЬ в Excel и особенности ее использования

​Если значение аргумента «число»​ вам необходимо записать​ 34. Почему именно​ чрезвычайно сложным, просто​

1. ​ таком случае значение​ 80 самых различных​ не является числом,​ число непосредственно со​
2. ​ его? Да потому,​ алгоритм действия для​ окно с двумя​ ряду.​ подразумевающего применение специального​ типа (1/b), где​ первом случае будет​ используется функция СТЕПЕНЬ.​ в результате вычисления​A2 – ячейка, содержащая​ обеспечит уверенную работу​Enter​ СУММЕСЛИ.​
3. ​ округляется до требуемого​ функций Excel, начиная​ функция МНИМ.СТЕПЕНЬ возвращает​ степенью в текстовом​
4. ​ что 4 –​ этого не совсем​ полями для ввода.​Введите степень, в которую​ символа «^». Синтаксис​
5. ​ b – корень​ возвращено значение 1​Пример использования:​ данного выражения.​ значение первого члена;​ в Excel и​, получим правильное количество​Математическая функция​ знака перед запятой:​ от незаменимых суммирования​ значение ошибки #ЗНАЧ!.​ формате, тогда воспользуйтесь​ это степень числа​
6. ​ понятен рядовому пользователю,​ В первое вам​ хотите возвести число,​ своеобразной формулы выглядит​ степени b.​ (ЛОЖЬ соответствует числовому​Примечание: для корректной работы​Аналогично определим второе значение​СТЕПЕНЬ(C2;15-1) – формула, принимающая​

• Функция найти в excel
• Sumif функция в excel
• В excel функция subtotal
• Функция в excel пстр
• Функция в excel не равно
• Функция всд в excel
• Как в excel убрать функцию
• Функция ранг в excel примеры
• В excel функция значен
• Функция округления в excel на английском
• Функция в excel правсимв
• Ряд функция в excel

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Функция экспонента в excel

1. Математические расчеты (сложение, вычитание, корень числа, возведение в квадрат, куб и другую степень в Экселе).
2. Статистическая работа.
3. Анализ итоговых значений.
4. Решение финансовых задач.

В этом окне нужно в окошко под названием Поиск функций вписать слово степень и нажать кнопку Поиск. В нижнем окошке отобразится функция степень которую нужно выбрать нажав на неё и нажать кнопку ОК. Откроется окошко под названием Аргументы функции.

Мировые константы «пи» и «e» в основных законах физики и физиологии

Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ.

Функция нормального распределения (распределение Гаусса). Максимум ее графика отвечает наиболее вероятному значению случайной величины (например, длины предмета, измеренной линейкой), а степень «расплывания» кривой зависит от параметров а и «сигма».

Жрецы Древнего Вавилона посчитали, что солнечный диск укладывается на небосводе от рассвета до заката 180 раз и ввели новую единицу измерения — градус, равный его угловому размеру.

Размеры природных образований — песчаных дюн, холмов и гор — увеличиваются с каждым шагом в среднем в 3,14 раза.

Маятник, качаясь без трения и сопротивления, сохраняет постоянную амплитуду колебаний. Появление сопротивления приводит к экспоненциальному затуханию колебаний.

Наверно, любой абитуриент или студент на вопрос, что такое числа и е, ответит: — это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, а е — основание натуральных логарифмов. Если попросить определить эти числа более строго и вычислить их, студенты приведут формулы:

= 3(1+ 1/3x2 3 + 1 x 3/4x5x2 5 + . ) 3,14159…

Число и сферическая симметрия пространства

Сначала сформулируем первый основной тезис, а затем поясним его смысл и следствия.

1. Число отражает изотропность свойств пустого пространства нашей Вселенной, их одинаковость по любому направлению. С изотропностью пространства связан закон сохранения вращательного момента.

Отсюда вытекают общеизвестные следствия, которые изучают в средней школе.

Следствие 1 . Длина дуги окружности, вдоль которой умещается ее радиус, составляет естественную дуговую и угловую единицу радиан .

Следствие 2. Предназначение тригонометрических функций — выражать соотношения между дуговыми и линейными размерами объектов, а также между пространственными параметрами процессов, происходящих в сферически симметричном пространстве.

Из сказанного ясно, что аргументы тригонометрических функций в принципе безразмерны, как и у других типов функций, т.е. это действительные числа — точки числовой оси, которые не нуждаются в градусном обозначении.

«Замешано» ли число в природных структурах?

Попробуем разобраться в явлениях, причины которых далеко не ясны, но которые тоже, возможно, не обошлись без числа .

В основе указанных явлений, возможно, лежит так называемый закон распределения максимумов случайных рядов, или «закон троек», сформулированный еще в 1927 году Е. Е. Слуцким.

2. Число е как основание функции комплексного переменного отражает два основных закона сохранения: энергии — через однородность времени, импульса — через однородность пространства.

И все-таки, почему именно число е, а не какое-то другое вошло в формулу Эйлера и оказалось в основании волновой функции? Оставаясь в рамках школьных курсов математики и физики, ответить на этот вопрос непросто. Эту проблему автор обсуждал с теоретиком, доктором физико-математических наук В. Д. Эфросом, и мы попытались пояснить ситуацию следующим образом.

А теперь запишем решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, описывающее распространение гармонической волны в среде с учетом неупругого взаимодействия с ней, приводящего к рассеянию энергии или же к приобретению энергии от внешних источников:

Возможно, последний абзац труден для выпускников многих обычных школ. Он, однако, должен быть понятен студентам вузов и колледжей, которые основательно штудируют дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

А теперь положим β = 0, то есть уничтожим колебательный множитель с числом i в решении, содержащем формулу Эйлера. От бывших колебаний останется только затухающая (или нарастающая) по экспоненте «амплитуда».

Для иллюстрации обоих случаев представим себе маятник. В пустом пространстве он колеблется без затухания. В пространстве с сопротивляющейся средой колебания происходят с экспоненциальным затуханием амплитуды. Если же отклонить не слишком массивный маятник в достаточно вязкой среде, то он будет плавно двигаться к положению равновесия, все более замедляясь.

Следствие 1. При отсутствии мнимой, чисто колебательной части функции f(t), при β = 0 (то есть при нулевой частоте) действительная часть экспоненциальной функции описывает множество природных процессов, которые идут в соответствии с фундаментальным принципом: прирост величины пропорционален самой величине .

По экспоненте с действительным аргументом, без колебаний, идет множество процессов в физике, химии, биологии, экологии, экономике и т. д. Особо отметим универсальный психофизический закон Вебера — Фехнера (почему-то игнорируемый в образовательных программах школ и вузов). Он гласит: «Сила ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения».

Следствие 2. Наличие только мнимой части функции при α = 0, β 0 в решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами описывает множество линейных и линеаризованных процессов, в которых имеют место незатухающие гармонические колебания.

Это следствие возвращает нас к уже рассмотренной выше модели.

Следствие 3. При реализации следствия 2 происходит «смыкание» в единой формуле чисел и е посредством исторической формулы Эйлера в ее первоначальном виде е i = -1.

​возвращает абсолютную величину​ функция​ заканчивая мало кому​ дробным или отрицательным.​ довольно прост в​ сейчас будем видоизменять.​ записью потребуется сделать​ которое собираетесь возвести​Нажмите Enter.​=n^y​ выражениями периодически появляется​

3 способа расчета полинома в Excel. | Тренды | Статьи

Хм… Что мы можем тут сделать? Помните, 50% — это общий процент дохода, а n — это количество периодов, на которые этот процент поделен для начисления (капитализации). Если мы выберем n=50, тогда наш рост будет поделен на 50 кусочков по 1%: